| COMPLEMENTI DI GEOMETRIA

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Introdurre i primi elementi della teoria delle curve algebriche sopra un campo, mettendo in evidenza le interazioni della geometria e dell'algebra, trattando i principali conoscenze specifiche delle curve piane. Nello stesso tempo, particolare attenzione sarą data al rigore nelle dimostrazioni

Geometria I

Teoria delle curve piane algebriche basata sul risultante alla Sylvester e sulla molteplicitą di intersezione

Funzioni simmetriche: funzioni simmetriche elementari, teorema fondamentale sui polinomi simmetrici, funzioni simmetriche rispetto a due gruppi di indeterminate, teorema fondamentale sui polinomi simmetrici rispetto a due gruppi di indeterminate. 

Risultante alla Sylvester e teoria dell'eliminazione : proprietą, teorema fondamentale di Sylvester, proprietą del determinante alla Sylvester, proprietą isobarica, Teorema del risultante, teorema di Study, eliminazione di un'incognita in un sistema di due equazioni in due incognite, caratterizzazione dei sistemi con soluzioni infinite. 

Risultante di due polinomi omogenei:

Caratterizzazione di polinomi omogenei, regola di Eulero, proprietą dei polinomi omogenei. 

Molteplicitą d'intersezione : assiomi,  proprietą :la molteplice intersezione dipende dall' ideale, covarianza della molteplice intersezione, molteplicitą del punto O, limitazioni della molteplice intersezione, teorema di unicitą, teorema di esistenza, esempi. 

Curve algebriche piane: equazione omogenea, curve algebriche piane riducibili e irriducibili, numero di coefficienti essenziali, piccolo teorema di Bčzout, teorema di Bčzout, natura dei punti, punti singolari e punti di flesso, ricerca dei punti singolari e tangenti principali, rami lineari, molteplice intersezione di due curve in un loro punto comune, fasci di curve, tangenti alle curve di un fascio in un punto base, massimo numero di punti doppi per una curva irriducibile, genere di una curva algebrica, curva razionale, teorema :ogni curva irriducibile di genere 0 č razionale, teorema di Bertini, curva polare, classe di una curva algebrica, prima e seconda formula di Plücker, hessiana di una curva algebrica, terza formula di Plucker. 

Cubiche: formule di Plucker per le cubiche, proprietą delle cubiche, cubiche ellittiche, forma di Weierstrasse, teorema di Salmon, invariante di una cubica, curva polare di un punto situato su un punto situato sulla curva stessa,  (teorema di pascal), punti tangenziali di una cubica piana, cubiche e strutture algebriche. 

Curve ellittiche applicazione alla crittografia: scambio di chiavi Diffie-Hellman. 

Lezioni teoriche frontali ed esercitazioni, anche a distanza se necessario

Esame scritto ed orale

Dispense distribuite durante il corso;

Testi consigliati:

G. Vaccaro: Elementi della teoria delle curve e superficie, Libreria Eredi Virgilo Veschi, Roma

J.W.P. Hirschfeld, G. Korchmįros, F. Torres, Algebraic curves over a finite field, Princetone University Press,

2008. primi due capitoli

Ricevimento studenti, anche a distanza se necessario

Anno solare 2022:

8, 22 febbraio, 8 marzo, 5 aprile, 27 maggio, 27 giugno,, 22 luglio, 6 settembre, 6 ottobre, 10 novembre, 14 dicembre