Onofrio Mario DI VINCENZO | ALGEBRA SUPERIORE

L'insegnamento è rivolto ad una introduzione della teoria delle algebre associative di dimensione finita, partendo dalla presentazione di alcuni classici risultati della teoria di Galois sulle estensioni di campi. La struttura dell’insegnamento prevede la possibilità di un diverso approfondimento degli argomenti inerenti i due temi principali.  Così mentre si prevede un nucleo invariante di argomenti, altri potranno essere sviluppati in ampiezza e profondità a seconda della preparazione iniziale degli studenti frequentanti. Tra i risultati  principali costituenti il nucleo dell’insegnamento, evidenziamo la presentazione del teorema fondamentale della teoria di Galois, una dimostrazione cosiddetta  “algebrica” del teorema fondamentale dell’algebra e la caratterizzazione delle estensioni cicliche,  nonché   la costruzione secondo Hilbert di algebre di divisione di dimensione fissata sul proprio centro, la caratterizzazione delle algebre di divisione algebriche sui numeri reali, la commutatività delle algebre di divisione di cardinalità finita. I diversi approfondimenti potranno riguardare, nell’ambito della teoria di Galois, la presentazione dei risultati riguardanti la risoluzione per radicali  delle equazioni algebriche e la caratterizzazione delle estensioni ciclotomiche  oppure, nell’ambito della teoria delle algebre associative, la presentazione di un teorema di commutatività di Jacobson-Herstein, quale prototipo di classici risultati ottenibili tramite tecniche e metodi di dimostrazione fondati su teoremi di struttura. Tra questi ultimi potrebbe infine essere presentato il teorema di Wedderburn-Malcev sulla decomposizione delle algebre associative di dimensione finita.

Si prevede che al termine del corso gli studenti abbiano acquisito competenze negli ambiti della determinazione e della classificazione di strutture algebriche con determinate proprietà, con particolare riferimento alle estensioni di Galois e alle algebre di divisione di dimensione finita. ???????

Elementi della teoria dei gruppi (I teoremi di Sylow sui gruppi finiti- Gruppi risolubili), della teoria dei campi (estensioni semplici - campo di spezzamento di un polinomio) e dei moduli.

Argomenti di base: Proprietà elementari delle estensioni di campi, estensione di isomorfismi ai campi di spezzamento, chiusura algebrica. La corrispondenza di Galois, il Teorema Fondamentale della Teoria di Galois. Estensioni separabili, estensioni normali. Il gruppo di Galois di un polinomio. Campi finiti, estensioni cicliche. Il Teorema Fondamentale dell’Algebra. Il teorema sulle funzioni simmetriche. Il teorema dell’elemento primitivo. Il teorema di Frobenius sull’estensioni algebriche di R. La costruzione di Hilbert di algebre di divisione. Il teorema di Wedderburn sui corpi finiti. Le algebre semplici di dimensione finita. Moduli irriducibili per algebre semplici (e semisemplici).

Eventuali approfondimenti:

a)  estensioni ciclotomiche, estensioni radicali e risolubilità dell’equazione generale di grado n;

b) radicale di Jacbson, il teorema di densità di Jacobson, Il teorema di Jacobson-Herstein  e il teorema di Wedderburn-Malcev.

Lezioni frontali che prevedono anche l'illustrazione di esempi significativi e lo svolgimento in aula di esercizi.

Obiettivo della prova di esame è la verifica del raggiungimento degli obiettivi formativi dell'insegnamento. L'esame consiste in una prova orale nella quale sarà valutata la capacità di presentare e mettere in relazione gli argomenti del corso, con particolare riferimento alle dimostrazioni dei principali risultati.

1) T.W. Hungerford, Algebra, GTM 73, Springer, 1974 New York

2)  J.S. Rose, A Course on Group Theory, Cambridge University Press, 1978.

3) T.Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings, GTM 131, Springer, 2001 New York.

All'inizio del corso vengono descritti gli obiettivi, il programma e i metodi di verifica. Contestualmente, si raccoglie su base volontaria l'elenco degli studenti presenti corredato di nome, cognome, matricola ed eventuale indirizzo di posta elettronica personale.

Orario di ricevimento:

Il ricevimento studenti si articola in tre giorni  per 5 ore complessive settimanali. 

Oltre all'orario di ricevimento settimanale, che potrebbe subire variazioni dopo la pubblicazione dell'orario delle lezioni e tra il primo e il secondo semestre, il docente è  disponibile per ulteriori incontri di ricevimento per gli studenti, concordando l’orario tramite e-mail

10 e  24 febbraio 2022,

10 marzo 2022,

28 aprile 2022,

26 maggio 2022,

16 giugno 2022, 

19 luglio 2022,

20 settembre 2022,

 6 ottobre 2022,

10 novembre 2021,

1 dicembre 2021.

Non sono previsti seminari da parte di esperti esterni