Elisabetta BARLETTA | ANALISI MATEMATICA I (MEC)

ITALIANO

Le principali conoscenze fornite interesseranno: elementi di base della topologia euclidea dello spazio dei numeri reali;elementi di base sui numeri complessi; conoscenze relative alle successioni e alle serie di numeri reali; conoscenze relative alle funzioni di una variabile reale a valori scalari: limiti, infiniti e infinitesimi, continuità, derivabilità di una funzione; conoscenze relative alle conseguenze del calcolo infinitesimale (e.g. i teoremi di L’Hôspital, la formula di Taylor, la formula di Mac Laurin); integrazione di una funzione di una variabile reale e l’integrale secondo Riemann; conoscenze relative agli integrali impropri e la relazione tra questi e le serie numeriche; conoscenze di base delle equazioni differenziali del primo ordine e di ordine superiore a coefficienti costanti. Particolare riguardo sarà dato ai fondamenti e ai principali teoremi degli argomenti trattati.

Conoscenza e capacità di comprensione: Lo studente deve dimostrare di aver raggiunto una buona conoscenza del linguaggio matematico di base e di aver compreso ed imparato sia la teoria che le tecniche del calcolo differenziale e integrale in una variabile reale.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente deve dimostrare di essere in grado di saper applicare le conoscenze apprese nello studio delle discipline matematiche successive (e.g. Analisi Matematica II, Fisica Matematica) e le discipline di Fisica e di Ingegneria che seguiranno.

Autonomia di giudizio: Lo studente deve dimostrare di saper analizzare un problema di analisi matematica in una variabile reale e, utilizzando le conoscenze teoriche apprese, valutare il metodo risolutivo più conveniente e appropriato per identificare e stabilire la soluzione.

Capacita? di apprendimento: La frequenza delle lezioni e il costante studio giornaliero di quanto impartito dal docente costituisce un sussidio didattico di rilevanza centrale che lo studente dovrebbe avvertire come un proprio obbligo per una maggiore comprensione e facilitazione nello studio individuale. Lo studente dovrebbe poi progressivamente rendersi autonomo dal docente, acquisendo la capacita? di approfondire le proprie conoscenze anche attraverso la consultazione di ulteriori testi ed eserciziari.

- Algebra elementare (scomposizione di un polinomio in fattori, equazioni di primo e secondo grado in una incognita, radicali, logaritmi, disequazioni);

- Geometria analitica nel piano e trigonometria (compreso disequazioni trigonometriche).

1 - Successioni e serie di numeri reali (25 ore): Lo spazio dei numeri reali con la topologia euclidea. Successioni convergenti. Successioni divergenti. Successioni monotòne. Successioni di Cauchy. Operazioni con i limiti di successioni. Successioni e topologia di R. Serie numeriche a termini non negativi. Criteri di convergenza per le serie. Serie assolutamente convergenti.                                         

2 - Funzioni di una variabile reale (15 ore): Dominio, codominio e grafico di una funzione. Funzione composta e funzione inversa. Estremi di una funzione. Funzioni monotòne. Limite di una funzione. Teorema della permanenza del segno per i limiti di funzioni. Operazioni con i limiti di Funzioni. Alcuni limiti notevoli. Limiti laterali. Limiti di funzioni monotòne. Infiniti e infinitesimi.

3 - Funzioni continue (5 ore): Definizione di funzione continua. Punti di discontinuità. Teorema della permanenza del segno per funzioni continue. Funzioni continue su insiemi. Enunciato del Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass. Continuità uniforme. Teorema di Cantor. Funzioni continue invertibili.

4- Differenziabilità di una funzione (10 ore): Derivata di una funzione. Relazione tra derivabilità e continuità. Regole di derivazione. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange (o del valor medio). Teorema di Cauchy. Ricerca degli estremi assoluti e relativi di una funzione di una variabile reale.

5 - Sviluppi del calcolo infinitesimale (10 ore): I teoremi di L'Hôspital. Derivate successive. Funzioni di classe C^k e di classe C^? . Funzioni convesse (e concave). Alcune proprietà delle funzioni convesse (concave) derivabili. Studio del grafico di una funzione.

6 - La formula di Taylor di una funzione (10 ore): Il polinomio di Taylor di una funzione. Lo sviluppo di Taylor. Rappresentazioni del resto di Taylor. Relazione tra la formula di Taylor e i punti di estremo di una funzione. La formula di Mac Laurin. Gli sviluppi di Mac Laurin delle funzioni elementari.

7 - Integrazione di una funzione (20 ore): La primitiva di una funzione. Calcolo delle primitive delle funzioni elementari. Le formule dell'ntegrazione per parti e per sostituzione. Integrali di funzioni razionali fratte. Integrali abeliani. Integrali trigonometrici. Integrale differenziale binomio. Integrale secondo Riemann. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale e resto di Taylor. La formula di Mac Laurin per le funzioni log(1-x), arctan x, arcsin x .

8 - Integrali impropri (8 ore): Criteri di convergenza per gli integrali impropri. Gli integrali di Eulero di I e II specie. Integrali impropri e serie numeriche.

9 - Numeri complessi (7 ore): Costruzione del campo dei numeri complessi. La forma algebrica e polare di un numero complesso. Potenze intere e razionali di un numero complesso. Lo spazio metrico C. Successioni e serie di numeri complessi. Il logaritmo e la potenza complessa di un numero complesso.

10 - Equazioni differenziali (10 ore): Equazioni differenziali del I ordine ordinarie e a variabili separabili. Equazioni differenziali del I ordine lineari e affini. Alcune classi di equazioni differenziali del I ordine non lineari: equazione di Bernoulli, equazione di Riccati, equazioni del tipo y’= f((ax+by+c)/(a’x+b’y+c’)). Equazioni differenziali di ordine n a coefficienti costanti.

1 - Successioni e serie di numeri reali (25 ore): Lo spazio dei numeri reali con la topologia euclidea. Successioni convergenti. Successioni divergenti. Successioni monotòne. Successioni di Cauchy. Operazioni con i limiti di successioni. Successioni e topologia di R. Serie numeriche a termini non negativi. Criteri di convergenza per le serie. Serie assolutamente convergenti.                                         

2 - Funzioni di una variabile reale (15 ore): Dominio, codominio e grafico di una funzione. Funzione composta e funzione inversa. Estremi di una funzione. Funzioni monotòne. Limite di una funzione. Teorema della permanenza del segno per i limiti di funzioni. Operazioni con i limiti di Funzioni. Alcuni limiti notevoli. Limiti laterali. Limiti di funzioni monotòne. Infiniti e infinitesimi.

3 - Funzioni continue (5 ore): Definizione di funzione continua. Punti di discontinuità. Teorema della permanenza del segno per funzioni continue. Funzioni continue su insiemi. Enunciato del Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass. Continuità uniforme. Teorema di Cantor. Funzioni continue invertibili.

4- Differenziabilità di una funzione (10 ore): Derivata di una funzione. Relazione tra derivabilità e continuità. Regole di derivazione. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange (o del valor medio). Teorema di Cauchy. Ricerca degli estremi assoluti e relativi di una funzione di una variabile reale.

5 - Sviluppi del calcolo infinitesimale (10 ore): I teoremi di L'Hôspital. Derivate successive. Funzioni di classe C^k e di classe C^? . Funzioni convesse (e concave). Alcune proprietà delle funzioni convesse (concave) derivabili. Studio del grafico di una funzione.

6 - La formula di Taylor di una funzione (10 ore): Il polinomio di Taylor di una funzione. Lo sviluppo di Taylor. Rappresentazioni del resto di Taylor. Relazione tra la formula di Taylor e i punti di estremo di una funzione. La formula di Mac Laurin. Gli sviluppi di Mac Laurin delle funzioni elementari.

7 - Integrazione di una funzione (20 ore): La primitiva di una funzione. Calcolo delle primitive delle funzioni elementari. Le formule dell'ntegrazione per parti e per sostituzione. Integrali di funzioni razionali fratte. Integrali abeliani. Integrali trigonometrici. Integrale differenziale binomio. Integrale secondo Riemann. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale e resto di Taylor. La formula di Mac Laurin per le funzioni log(1-x), arctan x, arcsin x .

8 - Integrali impropri (8 ore): Criteri di convergenza per gli integrali impropri. Gli integrali di Eulero di I e II specie. Integrali impropri e serie numeriche.

9 - Numeri complessi (7 ore): Costruzione del campo dei numeri complessi. La forma algebrica e polare di un numero complesso. Potenze intere e razionali di un numero complesso. Lo spazio metrico C. Successioni e serie di numeri complessi. Il logaritmo e la potenza complessa di un numero complesso.

10 - Equazioni differenziali (10 ore): Equazioni differenziali del I ordine ordinarie e a variabili separabili. Equazioni differenziali del I ordine lineari e affini. Alcune classi di equazioni differenziali del I ordine non lineari: equazione di Bernoulli, equazione di Riccati, equazioni del tipo y’= f((ax+by+c)/(a’x+b’y+c’)). Equazioni differenziali di ordine n a coefficienti costanti.

Il Corso prevede 120 ore di didattica tra lezioni ed esercitazioni; in particolare si prevedono 80 ore di lezioni teoriche, comprensive di tutti gli argomenti del programma e 40 ore di esercitazioni (i.e. esercizi svolti in aula e complementi di teoria).

Esame finale scritto seguito, in caso di punteggio appena insufficiente, da una prova orale (18/30 è il punteggio sufficiente). Per verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi precedentemente indicati, all’inizio del II semestre potrà essere somministrata una prova di verifica la quale, se valutata positivamente, potrà concorrere all’esito della valutazione finale. Gli argomenti della prova scritta (così come quelli per l’eventuale prova orale) riguardano tutto il programma svolto e sono scelti in modo da accertare lo studio e la comprensione della materia del corso nonché la capacità di utilizzare le nozioni e i metodi matematici imparati per l’apprendimento dei contenuti delle discipline matematiche, fisiche e di ingegneria successive. La prova scritta contiene tre blocchi articolati in esercizi/domande: uno dei tre blocchi consta di domande di teoria. La risposta ad ogni blocco, se completa e priva di errori, è valutata 10/30, di conseguenza il punteggio massimo della prova è 30/30. Il punteggio di ciascun blocco è determinato dalla valutazione parziale dei singoli esercizi/domande che lo compongono. Il tempo a disposizione della prova scritta è di 2 ore. E’ ammessa solo la consultazione di formulari ovvero non è ammessa la consultazione di testi, manuali, eserciziari, appunti o l’utilizzo di pc, smartphone e simili strumenti che consentano il collegamento a internet o la comunicazione con l’esterno dell’aula.

E. Giusti, Analisi Matematica I, Bollati Boringhieri.

E. Giusti, Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, vol. I, Bollati Boringhieri.

B.P. Demidovic, Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori

Riuniti.R.A. Adams, Calcolo differenziale 1, Casa Editrice Ambrosiana.

Materiale didattico on-line: Appunti del docente disponibili nel sito web del docente

http://docenti.unibas.it/site/home/docente.html?m=000233

All’inizio del corso, dopo aver descritto gli obiettivi, il programma e metodi di verifica, il docente mette a disposizione degli studenti i propri appunti che possono essere ricevuti o in formato pdf all’indirizzo email istituzionale dello studente e contattando il docente stesso, o scaricabili dal sito web    http://docenti.unibas.it/site/home/docente.html?m=000233   dove si possono trovare anche i testi delle prove d’esame dei più recenti anni accademici.

Per informazioni generali sul corso, il docente è disponibile sia durante l’orario di Ricevimento Studenti che per email istituzionale.

Per chiarimenti sugli argomenti svolti o qualsiasi altra informazione sul corso, l’orario di Ricevimento Studenti del docente è il seguente: Martedi e Giovedi dalle 15 alle 17, Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia.

1 febbraio 2022; 8 aprile 2022; 5 luglio 2022; 16 settembre 2022; 11 Novembre 2022.

No.