Anna AVALLONE | ANALISI MATEMATICA II

Italiano

L'obiettivo principale del corso consiste nel fornire agli studenti le basi per affrontare lo studio delle funzioni di più variabili, in particolare le conoscenze di base di continuità, derivabilità, minimi e massimi liberi e vincolati, integrali multipli,
integrali curvilinei. 
Le principali abilità che lo studente deve acquisire sono la padronanza degli argomenti di base relativi alle funzioni di più variabili, la capacità di fare delle dimostrazioni rigorose, la capacità di esporre in maniera chiara le conoscenze acquisite e la capacità di applicare in maniera autonoma le consocenze acquisite per la risoluzione di problemi concreti.

È necessario avere acquisito tutte le conoscenze fornite dal corso di Analisi Matematica I sullo studio di funzioni in una variabile.

1. Continuità, derivabilità e differenziabilità: 24 ore, di cui 12 ore di lezioni teoriche e 12 ore di esercitazioni

2. Estremi liberi e vincolati: 18 ore, di cui 9 di lezioni teoriche e 9 di esercitazioni

3. Integrali: 20 ore, di cui 10 di lezioni teoriche e 10 di esercitazioni

4. Serie e successioni di funzioni: 20 ore, di cui 10 di lezioni teoriche e 7 di esercitazioni

5. Integrali curvilinei e forme differenziali: 20 ore, di cui 13 di teoria e 7 di esercitazioni

6. Cenni su equazioni differenziali: 18 ore, di cui 9 di teoria e 9 di esercitazioni

PROGRAMMA DI ANALISI 2. A.A. 2020-2021.

CALCOLO DIFFERENZIALE

Norma e prodotto scalare in Rn . Elementi di topologia in Rn : punti di accumulazione, punti interni, punti di frontiera, insiemi aperti, chiusi, compatti, connessi, convessi, connessi per poligonali.
Funzioni di più variabili. Limiti. Continuità. Derivate parziali. Derivate direzionali. Funzioni differenziabili. Differenziale. Teorema del differenziale. Derivazione delle funzioni composte. Derivate e differenziali di ordine superiore. Teorema di Schwartz. Formula di Taylor con il resto di Peano e con il resto di Lagrange. Teorema di Lagrange e conseguenze. Minimi e massimi relativi: condizioni necessarie e condizioni sufficienti. Funzioni vettoriali.

FUNZIONI IMPLICITE E APPLICAZIONI

Funzioni implicite. Teorema del Dini per equazioni in 2 variabili. Teorema del Dini in più variabili.  Teorema del Dini per i sistemi di equazioni. Estremi vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Funzioni localmente invertibili. Teorema di invertibilità locale.

TEORIA DELL’INTEGRAZIONE

Misura secondo Peano-Jordan. Caratterizzazioni degli insiemi misurabili. Proprietà della misura. Misura del rettangoloide delle funzioni di una sola variabile. Integrali in Rn . Caratterizzazione delle funzioni integrabili. Integrabilità delle funzioni continue. Misura del cilindroide. Misura dei domini normali. Formule di riduzione su domini normali. Formula del cambiamento di variabili. Applicazione della formula del cambiamento di variabili alle coordinate polari.

SERIE NUMERICHE

Serie convergenti, divergenti o indeterminate. Serie geometrica, serie armonica, serie esponenziale. Proprietà delle serie. Serie resto. Serie a termini positivi. Criterio del confronto. Criterio del rapporto. Criterio della radice. Criterio di condensazione.  Serie armonica generalizzata. Criterio dell’ordine di infinitesimo. Criterio del confronto asintotico. Serie assolutamente convergenti. Criteri di assoluta convergenza. Criterio di Leibniz.

SUCCESSIONI DI FUNZIONI

Convergenza puntuale. Convergenza uniforme. Criterio di Weierstrass e corollario. Teorema sull’ inversione dei limiti. Continuità del limite. Derivabilità del limite. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale.

SERIE DI FUNZIONI

Convergenza puntuale. Convergenza uniforme. Convergenza assoluta. Convergenza totale. Criteri di Cauchy. Continuità della somma. Derivazione termine a termine. Integrazione termine a termine.
Serie di potenze. Teorema di Cauchy-Hadamard. Teorema di Abel.  Proprietà della somma di una serie di potenze. Serie di Taylor. Condizioni per la sviluppabilità in serie di Taylor. Serie di Taylor delle funzioni elementari: sviluppi di sen x e cos x, arctg x, serie esponenziale, serie logaritmica.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Problema di Cauchy. Teoremi di esistenza e unicità. Equazioni lineari. Teoremi sull'integrale generale delle equazioni lineari. Equazioni lineari a coefficienti costanti.

CURVE E INTEGRALI CURVILINEI

Curve in R^n . Curve chiuse, semplici, regolari, regolari a tratti. Curve cartesiane. Cammini. Cammini orientati. Opposto e somma di cammini. Lunghezza di una curva. Teorema di rettificabilita’. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei di funzioni.

FORME DIFFERENZIALI???????

Duale di R ^n. Integrali curvilinei di forme differenziali. Forme differenziali esatte: condizioni necessarie e sufficienti. Forme differenziali chiuse. Forme differenziali in aperti stellati. Funzioni omogenee e teorema di Eulero. Forme differenziali a coefficienti omogenei.

Il  corso prevede 120 ore di didattica frontale, di cui 60 di lezioni teoriche e 60 di esercitazioni.

L’obiettivo della prova d’esame consiste nel verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi precedentemente indicati.
L'esame è diviso in 2 parti: una prova scritta e una prova orale.
La prova scritta consiste nella risoluzione di 4 problemi relativi agli argomenti trattati durante il corso con l'obiettivo di valutare lo studio e la comprensione della materia e la capacità di applicare gli argomenti di studio per la risoluzione di problemi concreti. A ogni problema è attribuito un punteggio di 7 o di 8 punti, in base al livello di difficoltà. Lo studente viene ammesso alla prova orale se raggiunge un punteggio minimo di 18. Il tempo previsto per la prova scritta è di 3 ore. Non è possibile consultare testi, pc o smartphone, ma è ammesso l'uso della calcolatrice.
Nella prova orale, invece, viene valutata, oltre  alla conoscenza degli argomenti trattati, la capacità di collegare aspetti diversi trattati
durante il corso.
La prova orale si intende superata se si raggiunge un punteggio minimo di 18.
Il voto finale è dato dalla media tra il voto della prova scritta e quello della prova orale.

Testo di riferimento: 
Fusco-Marcellini-Sbordone. Analisi Matematica 2. Liguori Editore.

Testo di approfondimento:
Gilardi. Analisi Matematica 2.  McGraw-Hill.

E' inoltre reperibile materiale on line al link http://annaavallone.altervista.org/

Orario di ricevimento settimanale degli studenti (presso lo studio del docente):
Martedi 16-18
Mercoledi 16-18

Inoltre, gli studenti possono contattare il docente in ogni momento via email all'indirizzo anna.avallone@unibas.it

9 febbraio 2021
20 aprile 2021
8 giugno 2021
6 luglio 2021
7 settembre 2021 
7 dicembre 2021

No