Anna AVALLONE | ANALISI MATEMATICA II

ANALISI MATEMATICA II cod. SMF0251
	DIPARTIMENTO di MATEMATICA,INFORMATICA ed ECONOMIA
	Laurea
	MATEMATICA
	15

Moduli

	AF Cod.	SSD	CFU	Ore	Ciclo	Docente	Carico didattico
1	ANALISI MATEMATICA II
	SMF0251	MAT/05	15	120	Annuale	AVALLONE Anna	ESE:60 - LEZ:60

Scheda

	Lingua insegnamento
	L'obiettivo principale del corso consiste nel fornire agli studenti le basi per affrontare lo studio delle funzioni di più variabili, in particolare le conoscenze di base di continuità, derivabilità, minimi e massimi liberi e vincolati, integrali multipli, integrali curvilinei., forme differenziali, equazioni differenziali.

	Obiettivi formativi e risultati di apprendimento
	Le principali abilità che lo studente deve acquisire sono la padronanza degli argomenti di base relativi alle funzioni di più variabili, la capacità di fare delle dimostrazioni rigorose, la capacità di esporre in maniera chiara le conoscenze acquisite e la capacità di applicare in maniera autonoma le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi concreti.

	Prerequisiti
	È necessario avere acquisito tutte le conoscenze fornite dal corso di Analisi Matematica I sullo studio di funzioni in una variabile.

	Contenuti del corso
	1. Continuità, derivabilità e differenziabilità: 35 ore, di cui 22 ore di lezioni teoriche e 13 ore di esercitazioni 2. Estremi liberi e vincolati: 15 ore, di cui 9 di lezioni teoriche e 6 di esercitazioni 3. Integrali: 18 ore, di cui 10 di lezioni teoriche e 8 di esercitazioni 4. Serie e successioni di funzioni: 17 ore, di cui 10 di lezioni teoriche e 7 di esercitazioni 5. Integrali curvilinei e forme differenziali: 20 ore, di cui 13 di teoria e 7 di esercitazioni 6. Cenni su equazioni differenziali: 15 ore, di cui 6 di teoria e 9 di esercitazioni

Contenuti del corso

1. Continuità, derivabilità e differenziabilità: 35 ore, di cui 22 ore di lezioni teoriche e 13 ore di esercitazioni

2. Estremi liberi e vincolati: 15 ore, di cui 9 di lezioni teoriche e 6 di esercitazioni

3. Integrali: 18 ore, di cui 10 di lezioni teoriche e 8 di esercitazioni

4. Serie e successioni di funzioni: 17 ore, di cui 10 di lezioni teoriche e 7 di esercitazioni

5. Integrali curvilinei e forme differenziali: 20 ore, di cui 13 di teoria e 7 di esercitazioni

6. Cenni su equazioni differenziali: 15 ore, di cui 6 di teoria e 9 di esercitazioni

	Programma esteso
	CALCOLO DIFFERENZIALE Norma e prodotto scalare in Rn . Elementi di topologia in Rn : punti di accumulazione, punti interni, punti di frontiera, insiemi aperti, chiusi, compatti, connessi, convessi, connessi per poligonali. Funzioni di più variabili. Limiti. Continuità. Derivate parziali. Derivate direzionali. Funzioni differenziabili. Differenziale. Teorema del differenziale. Derivazione delle funzioni composte (senza dim). Derivate e differenziali di ordine superiore. Teorema di Schwartz. Formula di Taylor con il resto di Peano e con il resto di Lagrange (senza dim.). Teorema di Lagrange e conseguenze. Minimi e massimi relativi: condizioni necessarie e condizioni sufficienti. Funzioni vettoriali. FUNZIONI IMPLICITE E APPLICAZIONI Funzioni implicite. Teorema del Dini per equazioni in 2 variabili. Teorema del Dini in più variabili (senza dim.). Teorema del Dini per i sistemi di equazioni (senza dim.). Estremi vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Funzioni localmente invertibili. Teorema di invertibilità locale. TEORIA DELL’INTEGRAZIONE Misura secondo Peano-Jordan. Caratterizzazioni degli insiemi misurabili. Proprietà della misura. Misura del rettangoloide delle funzioni di una sola variabile. Integrali in Rn . Caratterizzazione delle funzioni integrabili. Integrabilità delle funzioni continue. Misura del cilindroide (senza dim.). Misura dei domini normali. Formule di riduzione su domini normali. Formula del cambiamento di variabili (senza dim.). Applicazione della formula del cambiamento di variabili alle coordinate polari. SERIE NUMERICHE Serie convergenti, divergenti o indeterminate. Serie geometrica, serie armonica, serie esponenziale. Proprietà delle serie. Serie resto. Serie a termini positivi. Criterio del confronto. Criterio del rapporto. Criterio della radice. Criterio di condensazione (senza dim.). Serie armonica generalizzata. Criterio dell’ordine di infinitesimo. Criterio del confronto asintotico. Serie assolutamente convergenti. Criteri di assoluta convergenza. Criterio di Leibniz (senza dim.). Convergenza incondizionata. SUCCESSIONI DI FUNZIONI Convergenza puntuale. Convergenza uniforme. Criterio di Weierstrass e corollario. Teorema sull’ inversione dei limiti. Continuità del limite. Derivabilità del limite. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teorema sulla limitatezza del limite. SERIE DI FUNZIONI Convergenza puntuale. Convergenza uniforme. Convergenza assoluta. Convergenza totale. Criteri di Cauchy. Continuità della somma. Derivazione termine a termine. Integrazione termine a termine. Serie di potenze. Teorema di Cauchy-Hadamard. Teorema di Abel (senza dim.). Proprietà della somma di una serie di potenze. Serie di Taylor. Condizioni per la sviluppabilità in serie di Taylor. Serie di Taylor delle funzioni elementari: sviluppi di sen x e cos x, arctg x, serie esponenziale, serie logaritmica. EQUAZIONI DIFFERENZIALI Problema di Cauchy. Teoremi di esistenza e unicità. Equazioni lineari. Teoremi sull'integrale generale delle equazioni lineari. Equazioni lineari a coefficienti costanti. CURVE E INTEGRALI CURVILINEI Curve in R^n . Curve chiuse, semplici, regolari, regolari a tratti. Curve cartesiane. Cammini. Cammini orientati. Opposto e somma di cammini. Lunghezza di una curva. Teorema di rettificabilita’. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei di funzioni. FORME DIFFERENZIALI Duale di R ^n. Integrali curvilinei di forme differenziali. Forme differenziali esatte: condizioni necessarie e sufficienti. Forme differenziali chiuse. Forme differenziali in aperti stellati. Funzioni omogenee e teorema di Eulero. Forme differenziali a coefficienti omogenei.

Programma esteso

CALCOLO DIFFERENZIALE

Norma e prodotto scalare in Rn . Elementi di topologia in Rn : punti di accumulazione, punti interni, punti di frontiera, insiemi aperti, chiusi, compatti, connessi, convessi, connessi per poligonali.
Funzioni di più variabili. Limiti. Continuità. Derivate parziali. Derivate direzionali. Funzioni differenziabili. Differenziale. Teorema del differenziale. Derivazione delle funzioni composte (senza dim). Derivate e differenziali di ordine superiore. Teorema di Schwartz. Formula di Taylor con il resto di Peano e con il resto di Lagrange (senza dim.). Teorema di Lagrange e conseguenze. Minimi e massimi relativi: condizioni necessarie e condizioni sufficienti. Funzioni vettoriali.

FUNZIONI IMPLICITE E APPLICAZIONI

Funzioni implicite. Teorema del Dini per equazioni in 2 variabili. Teorema del Dini in più variabili (senza dim.). Teorema del Dini per i sistemi di equazioni (senza dim.). Estremi vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Funzioni localmente invertibili. Teorema di invertibilità locale.

TEORIA DELL’INTEGRAZIONE

Misura secondo Peano-Jordan. Caratterizzazioni degli insiemi misurabili. Proprietà della misura. Misura del rettangoloide delle funzioni di una sola variabile. Integrali in Rn . Caratterizzazione delle funzioni integrabili. Integrabilità delle funzioni continue. Misura del cilindroide (senza dim.). Misura dei domini normali. Formule di riduzione su domini normali. Formula del cambiamento di variabili (senza dim.). Applicazione della formula del cambiamento di variabili alle coordinate polari.

SERIE NUMERICHE

Serie convergenti, divergenti o indeterminate. Serie geometrica, serie armonica, serie esponenziale. Proprietà delle serie. Serie resto. Serie a termini positivi. Criterio del confronto. Criterio del rapporto. Criterio della radice. Criterio di condensazione (senza dim.). Serie armonica generalizzata. Criterio dell’ordine di infinitesimo. Criterio del confronto asintotico. Serie assolutamente convergenti. Criteri di assoluta convergenza. Criterio di Leibniz (senza dim.). Convergenza incondizionata.

SUCCESSIONI DI FUNZIONI

Convergenza puntuale. Convergenza uniforme. Criterio di Weierstrass e corollario. Teorema sull’ inversione dei limiti. Continuità del limite. Derivabilità del limite. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teorema sulla limitatezza del limite.

SERIE DI FUNZIONI

Convergenza puntuale. Convergenza uniforme. Convergenza assoluta. Convergenza totale. Criteri di Cauchy. Continuità della somma. Derivazione termine a termine. Integrazione termine a termine.
Serie di potenze. Teorema di Cauchy-Hadamard. Teorema di Abel (senza dim.). Proprietà della somma di una serie di potenze. Serie di Taylor. Condizioni per la sviluppabilità in serie di Taylor. Serie di Taylor delle funzioni elementari: sviluppi di sen x e cos x, arctg x, serie esponenziale, serie logaritmica.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Problema di Cauchy. Teoremi di esistenza e unicità. Equazioni lineari. Teoremi sull'integrale generale delle equazioni lineari. Equazioni lineari a coefficienti costanti.

CURVE E INTEGRALI CURVILINEI

Curve in R^n . Curve chiuse, semplici, regolari, regolari a tratti. Curve cartesiane. Cammini. Cammini orientati. Opposto e somma di cammini. Lunghezza di una curva. Teorema di rettificabilita’. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei di funzioni.

FORME DIFFERENZIALI

Duale di R ^n. Integrali curvilinei di forme differenziali. Forme differenziali esatte: condizioni necessarie e sufficienti. Forme differenziali chiuse. Forme differenziali in aperti stellati. Funzioni omogenee e teorema di Eulero. Forme differenziali a coefficienti omogenei.

	Metodi didattici
	Il corso prevede 120 ore di didattica frontale, di cui 70 di lezioni teoriche e 50 di esercitazioni.

	Modalità di verifica dell'apprendimento
	L’obiettivo della prova d’esame consiste nel verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi precedentemente indicati. L'esame è diviso in 2 parti: una prova scritta e una prova orale. La prova scritta consiste nella risoluzione di 4 problemi relativi agli argomenti trattati durante il corso con l'obiettivo di valutare lo studio e la comprensione della materia e la capacità di applicare gli argomenti di studio per la risoluzione di problemi concreti. A ogni problema è attribuito un punteggio di 7 o di 8 punti, in base al livello di difficoltà. Lo studente viene ammesso alla prova orale se raggiunge un punteggio minimo di 18. Il tempo previsto per la prova scritta è di 3 ore. Non è possibile consultare testi, pc o smartphone, ma è ammesso l'uso della calcolatrice. Nella prova orale, invece, viene valutata, oltre alla conoscenza degli argomenti trattati, la capacità di collegare aspetti diversi trattati durante il corso. La prova orale si intende superata se si raggiunge un punteggio minimo di 18. Il voto finale è dato dalla media tra il voto della prova scritta e quello della prova orale.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L’obiettivo della prova d’esame consiste nel verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi precedentemente indicati.

L'esame è diviso in 2 parti: una prova scritta e una prova orale.

La prova scritta consiste nella risoluzione di 4 problemi relativi agli argomenti trattati durante il corso con l'obiettivo di valutare lo studio e la comprensione della materia e la capacità di applicare gli argomenti di studio per la risoluzione di problemi concreti. A ogni problema è attribuito un punteggio di 7 o di 8 punti, in base al livello di difficoltà. Lo studente viene ammesso alla prova orale se raggiunge un punteggio minimo di 18. Il tempo previsto per la prova scritta è di 3 ore. Non è possibile consultare testi, pc o smartphone, ma è ammesso l'uso della calcolatrice.

Nella prova orale, invece, viene valutata, oltre alla conoscenza degli argomenti trattati, la capacità di collegare aspetti diversi trattati

durante il corso.

La prova orale si intende superata se si raggiunge un punteggio minimo di 18.

Il voto finale è dato dalla media tra il voto della prova scritta e quello della prova orale.

	Testi di riferimento e di approfondimento, materiale didattico Online
	Fusco-Marcellini-Sbordone. Analisi Matematica 2. Liguori Editore. Testo di approfondimento: Gilardi. Analisi Matematica 2. McGraw-Hill. E' inoltre reperibile materiale on line al link http://digilander.libero.it/avallone.anna

Testi di riferimento e di approfondimento, materiale didattico Online

Fusco-Marcellini-Sbordone. Analisi Matematica 2. Liguori Editore.

Testo di approfondimento:

Gilardi. Analisi Matematica 2. McGraw-Hill.

E' inoltre reperibile materiale on line al link http://digilander.libero.it/avallone.anna

	Metodi e modalità di gestione dei rapporti con gli studenti
	Orario di ricevimento settimanale degli studenti (presso lo studio del docente): Martedi 15.30-17.00 Inoltre, gli studenti possono contattare il docente in ogni momento via email all'indirizzo anna.avallone@unibas.it

Metodi e modalità di gestione dei rapporti con gli studenti

Orario di ricevimento settimanale degli studenti (presso lo studio del docente):

Martedi 15.30-17.00

Inoltre, gli studenti possono contattare il docente in ogni momento via email all'indirizzo anna.avallone@unibas.it

	Date di esame previste
	6 febbraio 2024 23 aprile 2024 18 giugno 2024 16 luglio 2024 17 settembre 2024 17 dicembre 2024

Date di esame previste

6 febbraio 2024

23 aprile 2024

18 giugno 2024

16 luglio 2024

17 settembre 2024

17 dicembre 2024

	Seminari di esperti esterni
	No

Fonte dati UGOV