Sorin DRAGOMIR | GEOMETRIA II

L'insegnamento di "Geometria Due" mira all'apprendimento e la buona comprensione, a livello pratico, delle nozioni e dei risultati di base della Topologia Generale, assieme a elementi di Teoria dell'Omotopia, con applicazioni allo studio, a livello introduttivo, della Geometria delle Varietą Differenziabili nell'ambito della quale si ritrovi, come un caso particolare, la Geometria Locale e Globale delle Curve e delle Superficie. Le conoscenze acquisite (di topologia e geometria differenziale) costituiranno la base culturale di accesso a corsi di Fisica Teorica e a corsi avvanzati di Analisi Matematica. 

Algebra Lineare su spazi vettoriali di dimensione finita. Geometria analitica nello spazio Euclideo n-dimensionale. Algebra commutativa (gruppi, annelli, campi, ideali, moduli). Calcolo differenziale e integrale per le funzioni di una o pił variabili reali. 

Spazi topologici e applicazioni continue. Omotopie, gruppi fondamentali, spazi di rivestimento. Varietą differenziabili. Geometria differenziale delle curve e delle superficie. Integrazione sulle varietą differenziabili. 

1. Spazi topologici e applicazioni continue. Spazi metrici. Spazi topologici. Applicazioni continue. Separazione. Compatezza. Connessione, connessione per archi. 

2. Omotopie, gruppi fondamentali, spazi di rivestimento. Applicazioni omotope. Gruppo fondamentale. Rivestimenti, rivestimenti universali. 

3. Varietą differenziabili. Carte locali, atlanti, varietą. Funzioni e applicazioni differenziabili. Spazio tangente in un punto. Differenziale in un punto. Orientabilitą. Diffeomorfismi locali. Immersioni. Summersioni. Teorema di Sard. Campi di vettori tangenti. Teorema di Whitney. 

4. Geometria differenziale delle curve e delle superficie. Curve differenziabili. Curve regolari piane e sghembe. Superficie nello spazio Euclideo 3-dimensionale. La prima forma fondamentale. La seconda forma fondamentale. Curvatura. Geometria globale delle superficie. Teorema Egregium. Geodetiche. 

5. Integrazione sulle varietą differenziabili. Elementi di algebra multi-lineare. Varietą con bordo. Forme differenziali. Integrazione sulle varietą con bordo. Differenziazione esterna. Teorema di Stokes. 

Didattica frontale, esercitazioni. 

Esame scritto e orale. 

E. Sernesi, "Geometria 2", Bollati Boringhieri ed. s.r.l., Torino, 1994. 

Ricevimenti bi-settimanali, communicazione attraverso la e-mail.

8 Febbraio 2024; 29 Febbraio 2024; 18 Aprile 2024; 4 Luglio 2024; 19 Settembre 2024; 14 Novembre 2024.

Nessuno.