Paolo VITOLO | ANALISI MATEMATICA 3

Italiano

Acquisire strumenti e competenze di teoria assiomatica degli insiemi.

Acquisire competenze avanzate di topologia generale.

Non vi sono prerequisiti veri e propri, ma sono utili le conoscenze acquisite nei corsi di Analisi Matematica I e II.

nsiemi: gli assiomi di Zermelo-Fraenkel.

Relazioni. Funzioni. Numeri ordinali. Numeri cardinali.

L'assioma della scelta. L'ipotesi del continuo.

Spazi topologici.

Costruzione di topologie. Spazi metrici.

Convergenza.

Assiomi di separazione. Spazi di Hausdorff. Spazi regolari. Spazi normali. Spazi di Tychonoff.

Compattezza; il teorema di Tychonoff.

Compattezza negli spazi metrici.

Compattificazioni.

Insiemi: gli assiomi di Zermelo-Fraenkel. Filtri e basi di filtro. 
Relazioni; relazioni di ordine; composizione di relazioni. Funzioni. Insiemi equipotenti. Famiglie di insiemi; prodotto cartesiano di una famiglia. 
Numeri ordinali; somma e prodotto ordinale. L'insieme dei numeri naturali. Principio di induzione e definizioni per ricorrenza. 
Numeri cardinali. L'assioma della scelta. Confronto di cardinalità; somma, prodotto ed esponenziazione cardinale. L'ipotesi del continuo.

Spazi topologici: insiemi aperti e funzioni continue; basi e sottobasi; intorni; assiomi di numerabilità.
Insiemi chiusi e chiusura. Continuità in un punto. Funzioni aperte e funzioni chiuse. Insiemi densi e spazi separabili.

Costruzione di topologie: topologia generata da una collezione di insiemi. Spazi totalmente ordinati. Sottospazi. 
Topologia iniziale; prodotto topologico. Topologia generata da un sistema di intorni. Spazi metrici. 
Topologia generata dai chiusi; operatori di chiusura. Topologia finale: quozienti e somma topologica.

Convergenza: filtri e reti convergenti; sottoreti; punti di compattezza. Caratterizzazione della chiusura e della continuità.

Assiomi di separazione: spazi T0 e spazi T1. Spazi di Hausdorff. Spazi regolari. Spazi normali. Spazi di Tychonoff.

Compattezza: spazi compatti; convergenza negli spazi compatti; il teorema di Heine-Borel; punti di completa accumulazione; il teorema di Tychonoff. 
Compattezza negli spazi metrici.

Compattificazioni: spazi localmente compatti; compattificazione di Alexandroff. Confronto di compattificazioni. Compattificazione di Stone-Cech.

Lezioni frontali ed esercitazioni.

Una tesina scritta di approfondimento.

Prova orale con attribuzione definitiva dell'esame e del voto.

Testo di riferimento:

P. Vitolo, Lezioni di topologia. Aracne 2010.

• Orario di ricevimento settimanale: Mercoledì dalle 15:30 alle 17:30.

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