Alessandro SICILIANO | GEOMETRIA II

OBIETTIVI FORMATIVI E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Il corso rappresenta il secondo insegnamento di Geometria ed esamina elementi di base di geometria proiettiva,

geometria (non-) euclidea, topologia generale e geometria differenziale.

L'obiettivo principale del corso consiste nel fornire agli studenti le basi per affrontare lo studio di vari modelli di

geometrie 2-dimensionali nello spazio nonché lo studio di spazi topologici compatti e localmente compatti.

Le principali conoscenze fornite saranno:

o elementi di base di geometria proiettiva e di topologia generale;

o conoscenze relative a metodi di geometria differenziale;

o caratteristiche fondamentali del punto di vista di Klein nello studio comparativo delle geometrie euclidea e

non-euclidee;

o conoscenze di base per affrontare lo studio di spazi topologici compatti e localmente compatti;

o conoscenze di base per affrontare lo studio di curve e superficie (2-dimensionali) nello spazio 3-

dimensionale;

Le principali abilità (ossia la capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno:

o utilizzare il linguaggio proiettivo nella formulazione di problemi geometrici;

o identificare geometrie non-euclidee sulla base di misure ellittiche, paraboliche e iperboliche di angoli e

distanze;

o analizzare proprietà di spazi topologici compatti e localmente compatti.

o discutere proprietà di curve nello spazio 3-dimensionale analizzando curvature.

E’ necessario avere acquisito e assimilato le seguenti conoscenze fornite dai corsi di

“Algebra”, “Analisi Matematica I” e “Geometria I”:

o concetti elementari di Teoria di gruppi;

o conoscenze dei concetti fondamentali di Geometria euclidea, in particolare quelli relativi ai moti euclidei

(traslazioni, rotazioni, ingrandimenti e riflessioni);

conoscenze di metodi di differenziazione di funzioni reali a più variabili e loro applicazione pratica.

Geometria proiettiva e non-euclidea (18 ore + 24 ore di esercitazioni, docente: Martin Funk)

1. Spazi proiettivi, riferimenti e coordinate omogenee, cambiamenti di riferimenti e collineazioni, polarita,

coniche (algebriche, di Steiner e di Staudt), teoremi configurazionali di Desargues e Pappo-Pascal.

2. Sottogruppo delle collineazioni che fissano una conica, teorema di Laguerre.

3. Geometria euclidea e geometria iperbolica dal punto di vista di Klein, il gruppo dei moti (rigidi) di entrambi

le geometrie, misura ellittica, parabolica e iperbolica di angoli e distanze, proprieta comuni (transitivita sulle

bandiere, confluenza delle bisettrici in un triangolo), proprieta difformi (parallelismo, somma degli angoli

interni di un triangolo).

4. Modelli conformi di Beltrami e Poincaré.

Topologia generale (24 ore + 12 ore di esercitazioni, docente: Alessandro Siciliano)

1. Strutture topologiche: Spazi topologici, Parte interna, chiusura ed
intorni, Applicazioni continue, Spazi metrici, Sottospazi ed immersioni,
Prodotti topologici, Spazi di Hausdorff.
2. Connessione e compattezza: Connessione, Componenti connesse,
Ricoprimenti, Spazi topologici compatti, Il teorema di Wallace.

3. Quozienti topologici: Identificazioni, Topologia quoziente, Quozienti
per gruppi di omeomorfismi, Spazi localmente compatti, Il teorema
fondamentale dell’algebra.
Geometria differenziale (18 ore + 24 ore di esercitazioni, docente: Martin Funk)

1. Curve e superficie reali, campi vettoriali, spazio tangente, campi vettoriali su superficie ed orientamento,

geodetiche.

2. La mappa di Weingarten, curvatura di superficie, curve e superficie parametrizzate.

3. Formule di Frenet per curve parametrizzate nello spazio reale 3-dimensionale.

Il corso prevede 120 ore di didattica tra lezioni ed esercitazioni. In particolare sono previste 60 ore di lezione in aula

e 60 ore di esercitazioni.

L’obiettivo della prova d’esame consiste nel verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi

precedentemente indicati e consiste in una prova orale nella quale sarà valutata sia lo studio della materia e la

comprensione degli argomenti che la capacità di affrontare e discutere problemi tipici con un linguaggio preciso ed

adatto.

L’esame è diviso in 3 parti (Geometria proiettiva e (non)-euclidea, Topologia generale e Geometria differenziale) di

25 minuti ciascuna che possono aver luogo nello stesso giorno. Non è consentito consultare testi o utilizzare PC. Il

voto di ciascuna parte sara espresso in trentesimi.

Il voto finale e dato dalla media dei 3 voti.

o Funk: “Descriptive Geometry is All Geometry,” appunti su argomenti scelti di geometria proiettiva e geometria non euclidea, forniti dal docente (disponibili in Italiano e in Inglese)

Testi di riferimento:

o Sernesi: Geometria II  (geometria proiettiva)

o Manetti,  Topologia, Springer Verlag, Unitext, 2014

o Thorpe: Elementary Topics in Differential Geometry

Argomenti specifici di geometria differenziale e di geometrie non-euclidee possono essere approfonditi sui seguenti

testi:

o Gray: Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces

o Yaglom: A Simple Non-Euclidean Geometry and its Physical Basis

All’inizio del corso, dopo aver descritto obiettivi, programma e metodi di verifica, il docente mette a disposizione

degli studenti il materiale.

Orario di ricevimento: Prof. Martin Funk:   venerdì 11 -13 presso lo studio 53 del DiMIE; Prof. Alessandro Siciliano:  lunedì 11:30 - 13:30 e mercoledì 10:30-12:30 presso lo studio  42 del DiMIE.

Oltre all’orario di ricevimento settimanale, il docente e disponibile in ogni momento per un contatto con gli studenti,

attraverso la propria e-mail.

24/1/2020, 21/2/2020, 27/3/2020, 24/4/2020, 22/5/2020, 26/6/2020, 17/7/2020, 25/9/2019, 23/10/2019,

20/11/2020.

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