Alessandro SICILIANO | GEOMETRIA II
GEOMETRIA II | |
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DIPARTIMENTO di MATEMATICA,INFORMATICA ed ECONOMIA | |
Laurea | |
MATEMATICA | |
15 |
GEOMETRIA II | |
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DIPARTIMENTO di MATEMATICA,INFORMATICA ed ECONOMIA | |
Laurea | |
MATEMATICA | |
15 |
CFU | Ore | Ciclo | Docente | ||||
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1 | GEOMETRIA II | ||||||
10 | 84 | Annuale | FUNK Martin | ||||
2 | GEOMETRIA II | ||||||
5 | 36 | Annuale | SICILIANO Alessandro |
Lingua insegnamento | Italiano |
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Obiettivi formativi e risultati di apprendimento | Il corso rappresenta il secondo insegnamento di Geometria ed esamina elementi di base di geometria proiettiva, geometria (non-) euclidea, topologia generale e geometria differenziale. L'obiettivo principale del corso consiste nel fornire agli studenti le basi per affrontare lo studio di vari modelli di geometrie 2-dimensionali nello spazio nonché lo studio di spazi topologici compatti e localmente compatti. Le principali conoscenze fornite saranno: o elementi di base di geometria proiettiva e di topologia generale; o conoscenze relative a metodi di geometria differenziale; o caratteristiche fondamentali del punto di vista di Klein nello studio comparativo delle geometrie euclidea e non-euclidee; o conoscenze di base per affrontare lo studio di spazi topologici compatti e localmente compatti; o conoscenze di base per affrontare lo studio di curve e superficie (2-dimensionali) nello spazio 3- dimensionale; Le principali abilità (ossia la capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno: o utilizzare il linguaggio proiettivo nella formulazione di problemi geometrici; o identificare geometrie non-euclidee sulla base di misure ellittiche, paraboliche e iperboliche di angoli e distanze; o analizzare proprietà di spazi topologici compatti e localmente compatti. o discutere proprietà di curve nello spazio 3-dimensionale analizzando curvature |
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Prerequisiti | E’ necessario avere acquisito e assimilato le seguenti conoscenze fornite dai corsi di “Algebra”, “Analisi Matematica I” e “Geometria I”: o concetti elementari di Teoria di gruppi; o conoscenze dei concetti fondamentali di Geometria euclidea, in particolare quelli relativi ai moti euclidei (traslazioni, rotazioni, ingrandimenti e riflessioni); conoscenze di metodi di differenziazione di funzioni reali a più variabili e loro applicazione pratica. |
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Contenuti del corso | Geometria proiettiva e non-euclidea (docente: Martin Funk) 1. Spazi proiettivi 2. Sottogruppo delle collineazioni che fissano una conica3. Geometria euclidea e geometria iperbolica dal punto di vista di Klein 4. Modelli conformi di Beltrami e Poincaré.Topologia generale (docente: Alessandro Siciliano) 1. Strutture topologiche: Spazi topologici 3. Quozienti topologici, Spazi localmente compatti, Il teorema
1. Curve e superficie reali 2. La mappa di Weingarten3. Formule di Frenet |
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Programma esteso | Geometria proiettiva e non-euclidea (18 ore + 24 ore di esercitazioni, docente: Martin Funk) 1. Spazi proiettivi, riferimenti e coordinate omogenee, cambiamenti di riferimenti e collineazioni, polarita, coniche (algebriche, di Steiner e di Staudt), teoremi configurazionali di Desargues e Pappo-Pascal. 2. Sottogruppo delle collineazioni che fissano una conica, teorema di Laguerre. 3. Geometria euclidea e geometria iperbolica dal punto di vista di Klein, il gruppo dei moti (rigidi) di entrambi le geometrie, misura ellittica, parabolica e iperbolica di angoli e distanze, proprieta comuni (transitivita sulle bandiere, confluenza delle bisettrici in un triangolo), proprieta difformi (parallelismo, somma degli angoli interni di un triangolo). 4. Modelli conformi di Beltrami e Poincaré. Topologia generale (24 ore + 12 ore di esercitazioni, docente: Alessandro Siciliano) 1. Strutture topologiche: Spazi topologici, Parte interna, chiusura ed 3. Quozienti topologici: Identificazioni, Topologia quoziente, Quozienti 1. Curve e superficie reali, campi vettoriali, spazio tangente, campi vettoriali su superficie ed orientamento, geodetiche. 2. La mappa di Weingarten, curvatura di superficie, curve e superficie parametrizzate. 3. Formule di Frenet per curve parametrizzate nello spazio reale 3-dimensionale. |
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Metodi didattici | Il corso prevede 120 ore di didattica tra lezioni ed esercitazioni. In particolare sono previste 60 ore di lezione in aula e 60 ore di esercitazioni. |
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Modalità di verifica dell'apprendimento | L’obiettivo della prova d’esame consiste nel verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi precedentemente indicati e consiste in una prova orale nella quale sarà valutata sia lo studio della materia e la comprensione degli argomenti che la capacità di affrontare e discutere problemi tipici con un linguaggio preciso ed adatto. L’esame è diviso in 3 parti (Geometria proiettiva e (non)-euclidea, Topologia generale e Geometria differenziale) di 25 minuti ciascuna che possono aver luogo nello stesso giorno. Non è consentito consultare testi o utilizzare PC. Il voto di ciascuna parte sara espresso in trentesimi. Il voto finale e dato dalla media dei 3 voti. |
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Testi di riferimento e di approfondimento, materiale didattico Online | o Funk: “Descriptive Geometry is All Geometry,” appunti su argomenti scelti di geometria proiettiva e geometria non euclidea, forniti dal docente (disponibili in Italiano e in Inglese) Testi di riferimento: o Sernesi: Geometria II (geometria proiettiva) o Manetti, Topologia, Springer Verlag, Unitext, 2014 o Thorpe: Elementary Topics in Differential Geometry Argomenti specifici di geometria differenziale e di geometrie non-euclidee possono essere approfonditi sui seguenti testi: o Gray: Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces o Yaglom: A Simple Non-Euclidean Geometry and its Physical Basis |
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Metodi e modalità di gestione dei rapporti con gli studenti | All’inizio del corso, dopo aver descritto obiettivi, programma e metodi di verifica, il docente mette a disposizione degli studenti il materiale. Orario di ricevimento: Prof. Martin Funk: venerdì 11 -13 presso lo studio 53 del DiMIE; Prof. Alessandro Siciliano: lunedì 11:30 - 13:30 e mercoledì 10:30-12:30 presso lo studio 42 del DiMIE. Oltre all’orario di ricevimento settimanale, il docente e disponibile in ogni momento per un contatto con gli studenti, attraverso la propria e-mail. |
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Date di esame previste | 25/1/2020, 22/2/2020, 29/3/2020, 26/4/2020, 20/5/2020, 28/6/2020, 19/7/2020, 27/9/2019, 25/10/2019, 22/11/2020. |
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Seminari di esperti esterni | no |
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