Alessandro SICILIANO | IST. GEOM. SUP. - MOD. A

ITALIANO/INGLESE

OBIETTIVI FORMATIVI:

- Conoscere la geometria dei gruppi classici associati a forme bilineari e sesquilineari di uno spazio vettoriale di dimensione finita.

- Sapere individuare la strategia adottata nella dimostrazione dei principali risultati presentati durante il corso.

- Sapere individuare risultati di diverse discipline matematiche che risultano essere utili alla dimostrazione dei principali risultati presentati durante il corso.

RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI:

- Aver acquisito un metodo di ragionamento rigoroso e la capacita' di utilizzare il linguaggio specifico ed i metodi propri di questa disciplina.

- Essere in grado di leggere e capire testi piu' avanzati e sara' in grado di orientarsi nelle varie applicazioni della teoria delle forme bilineari e dei gruppi ad esse associate in altre aree scientifiche.

- Tali conoscenze sono prerequisito per ulteriori approfondimenti nella disciplina e per la consultazione della letteratura specializzata.

- Essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni.

- Essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette e d’individuare ragionamenti fallaci.

- Aver acquisito la capacita' di esporre sia ad interlocutori specialisti che a non specialisti le nozioni apprese, i problemi ad esse connessi, le idee ed i metodi di soluzione dei problemi, utilizzando il linguaggio chiaro, sintetico e rigoroso, specifico della disciplina.

Per seguire il corso lo studente deve avere una buona padronanza degli argomenti svolti nei corsi di Algebra Lineare, Geometria I, Geometria II e una conoscenza di base della Teoria dei gruppi.

Gruppi di permutazioni. Il gruppo lineare generale. La semplicità del gruppo proiettivo speciale. Polarità e forme bilineari e sesquilineari. Forme bilineari alternanti. La geometria simplettica e il gruppo simplettico. Semplicità del gruppo proiettivo simplettico.

Gruppi di permutazioni: orbite e stabilizzatori, Orbit-Stabilizer Theorem, gruppi transitivi e primitivi, Teorema di Iwasawa.

Il gruppo lineare generale ed il gruppo speciale lineare: il centro del gruppo generale lineare e del gruppo speciale lineare, il gruppo proiettivo generale e il gruppo proiettivo speciale, trasvezioni, il gruppo speciale lineare è generato dalle trasvezioni, il derivato del gruppo speciale lineare, la semplicità del gruppo proiettivo speciale.

Forme bilineari: matrice associata ad una forma bilineare e discriminante, radicale destro e radicale sinistro, forme bilineari non degeneri, forme riflessive e loro classificazione, forme bilineari equivalenti, decomposizione dello spazio vettoriale come somma diretta di un sottospazio non degenere e del suo complemento ortogonale

La geometria simplettica e il gruppo simplettico: decomposizione di uno spazio simplettico come somma diretta di piani iperbolici, isometrie simplettiche e gruppo simplettico, trasvezioni simplettiche, il gruppo simplettico è generato dalle trasvezioni simplettiche, il centro del gruppo simplettico, il derivato del gruppo simplettico, primitività del gruppo simplettico, il gruppo proiettivo simplettico, la semplicità del gruppo proiettivo simplettico, la cardinalità del gruppo simplettico sopra campi finiti.

Il raggiungimento degli obiettivi formativi sarà ottenuto mediante lezioni frontali per un totale di 48 ore. In alcuni casi gli studenti saranno chiamati a fare dei brevi seminari su argomenti del corso o complementari ad essi.

L'esame finale consiste di una prova orale durante la quale lo studente dovra' rispondere ad un minimo di tre domande sugli argomenti svolti durante il corso. Saranno valutati il livello di padronanza degli argomenti esposti, l'abilita' di presentarli tramite dimostrazioni rigorose, la proprieta' di linguaggio specifico della disciplina.

Descrizione dei metodi di valutazione - Ottima conoscenza degli argomenti, ottima proprieta' di linguaggio, buona capacita' analitica, ottima capacità di muoversi nell'ambito degli argomenti svolti durante il corso. Valutazione eccellente. Voto 30-30 e lode.

Buona padronanza degli argomenti, piena proprieta' di linguaggio, buona capacità di muoversi nell'ambito degli argomenti svolti durante il corso. Valutazione molto buona. Voto 26-29.

Conoscenza di base dei principali argomenti, discreta proprietà di linguaggio, limitata capacità di muoversi nell'ambito degli argomenti svolti durante il corso. Valutazione buona. Voto 24-25.

Non piena padronanza degli argomenti principali dell’insegnamento ma se ne possiedono le conoscenze di base, soddisfacente proprieta' di linguaggio, scarsa capacita' di muoversi nell'ambito degli argomenti svolti durante il corso. Valutazione soddisfacente. Voto 21-23.

Minima conoscenza di base degli argomenti principali dell’insegnamento e del linguaggio tecnico, scarsissima o nulla capacita' di muoversi nell'ambito degli argomenti svolti durante il corso. Valutazione sufficiente: voto 18-20.

Lo studente non possiede una conoscenza accettabile dei contenuti degli argomenti trattati nell'insegnamento. Valutazione insufficiente

Larry C. Groove, Classical Groups and Geometric Algebra, Graduate Studies in Mathematics, Volume 39, American Mathematical Society.

E. Artin, Geometric Algebra, Wiley Classic Library

Taylor, The geometry of the classical groups. Sigma Series in Pure Mathematics, 9. Berlin, 1992

Il rapporto con gli studenti avverrà tramite ricevimento settimanale che avrà luogo nei giorni e agli fissati prima dell'inizio del corso

Oltre all'orario di ricevimento settimanale, il docente è disponibile ad incontrare gli studenti previo appuntamento da fissare per mezzo del proprio indirizzo di posta elettronica.

10 Giugno 2021; 6 Luglio 2021; 22 Settembre 2021; 13 Ottobre 2021; 3 Febbraio 2022

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