Alessandro SICILIANO | GEOMETRIA II

italiano

OBIETTIVI FORMATIVI E RISULTATI DI APPRENDIMENTO (Geometria)

Il corso rappresenta il secondo insegnamento di Geometria ed esamina elementi di base di geometria proiettiva,

geometria (non-) euclidea e geometria differenziale.

L'obiettivo principale del corso consiste nel fornire agli studenti le basi per affrontare lo studio di vari modelli di

geometrie 2-dimensionali nello spazio.

Le principali conoscenze fornite saranno:

o elementi di base di geometria proiettiva e di topologia generale;

o conoscenze relative a metodi di geometria differenziale;

o caratteristiche fondamentali del punto di vista di Klein nello studio comparativo delle geometrie euclidea e

non-euclidee;

Le principali abilità (ossia la capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno:

o utilizzare il linguaggio proiettivo nella formulazione di problemi geometrici;

o identificare geometrie non-euclidee sulla base di misure ellittiche, paraboliche e iperboliche di angoli e

distanze;

o discutere proprietà di curve nello spazio 3-dimensionale analizzando curvature.

OBIETTIVI FORMATIVI E RISULTATI DI APPRENDIMENTO (Topologia)

OBIETTIVI FORMATIVI:

- Conoscere i fondamenti della topologia.

RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI:

• Aver acquisito un metodo di ragionamento rigoroso e la capacita' di utilizzare il linguaggio specifico ed i metodi propri di questa disciplina.

• Essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni.

• Essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette e d’individuare ragionamenti fallaci.
  

Per seguire il corso lo studente deve avere una buona padronanza degli argomenti svolti nei corsi di Analisi I, Geometria I e Algebra.

CONTENUTI DEL CORSO

Geometria proiettiva e non-euclidea: il punto di vista di F. Klein.

Geometria differenziale: Curve e superficie reali, la mappa di Weingarten, formule di Frenet.

PROGRAMMA ESTESO

Geometria proiettiva e non-euclidea (18 ore + 24 ore di esercitazioni, docente: Martin Funk)

1. Spazi proiettivi, riferimenti e coordinate omogenee, cambiamenti di riferimenti e collineazioni, polarita,

coniche (algebriche, di Steiner e di Staudt), teoremi configurazionali di Desargues e Pappo-Pascal.

2. Sottogruppo delle collineazioni che fissano una conica, teorema di Laguerre.

3. Geometria euclidea e geometria iperbolica dal punto di vista di Klein, il gruppo dei moti (rigidi) di entrambi

le geometrie, misura ellittica, parabolica e iperbolica di angoli e distanze, proprieta comuni (transitivita sulle

bandiere, confluenza delle bisettrici in un triangolo), proprieta difformi (parallelismo, somma degli angoli

interni di un triangolo).

4. Modelli conformi di Beltrami e Poincaré.

Geometria differenziale (18 ore + 24 ore di esercitazioni, docente: Martin Funk)

1. Curve e superficie reali, campi vettoriali, spazio tangente, campi vettoriali su superficie ed orientamento,

geodetiche.

2. La mappa di Weingarten, curvatura di superficie, curve e superficie parametrizzate.

3. Formule di Frenet per curve parametrizzate nello spazio reale 3-dimensionale.

Topologia generale (docente: Alessandro Siciliano)

Strutture topologiche: Spazi topologici, Parte interna, chiusura ed intorni. Funzioni continue e omeomorfismi. Spazi topologici connessi: Connessione in R e R^n, connessione per poligonali. Prodotto di spazi topologici: compattezza in R e R^n.

Il raggiungimento degli obiettivi formativi sarà ottenuto mediante lezioni frontali.

MODALITÀ DI VERIFICA DELL’APPRENDIMENTO

L'esame finale consiste di una prova orale durante la quale lo studente dovra' rispondere ad un minimo di tre domande sugli argomenti svolti durante il corso. Saranno valutati il livello di padronanza degli argomenti esposti, l'abilita' di presentarli tramite dimostrazioni rigorose, la proprieta' di linguaggio specifico della disciplina.

Descrizione dei metodi di valutazione - Ottima conoscenza degli argomenti, ottima proprieta' di linguaggio, buona capacita' analitica, ottima capacità di muoversi nell'ambito degli argomenti svolti durante il corso. Valutazione eccellente. Voto 30-30 e lode.

- Buona padronanza degli argomenti, piena proprieta' di linguaggio, buona capacità di muoversi nell'ambito degli argomenti svolti durante il corso. Valutazione molto buona. Voto 26-29. - Conoscenza di base dei principali argomenti, discreta proprietà di linguaggio, limitata capacità di muoversi nell'ambito degli argomenti svolti durante il corso. Valutazione buona. Voto 24-25.

- Non piena padronanza degli argomenti principali dell’insegnamento ma se ne possiedono le conoscenze di base, soddisfacente proprieta' di linguaggio, scarsa capacita' di muoversi nell'ambito degli argomenti svolti durante il corso. Valutazione soddisfacente. Voto 21-23. - Minima conoscenza di base degli argomenti principali dell’insegnamento e del linguaggio tecnico, scarsissima o nulla capacita' di muoversi nell'ambito degli argomenti svolti durante il corso. Valutazione sufficiente: voto 18-20.

- Lo studente non possiede una conoscenza accettabile dei contenuti degli argomenti trattati nell'insegnamento. Valutazione insufficiente

M. Funk: “Descriptive Geometry is All Geometry,” appunti su argomenti scelti di geometria proiettiva e geometria non euclidea, forniti dal docente (disponibili in Italiano e in Inglese)

Thorpe: Elementary Topics in Differential Geometry

F. Mazzocca, Appunti del corso di Geometria 3, on-line

M. Manetti, Topologia, Springer Verlag, Unitext, 2014.

Il rapporto con gli studenti avverrà tramite ricevimento settimanale che avrà luogo nei giorni e agli fissati prima dell'inizio del corso

Oltre all'orario di ricevimento settimanale, il docente è disponibile ad incontrare gli studenti previo appuntamento da fissare per mezzo del proprio indirizzo di posta elettronica.

Ogni studente può concordare con il docente la data per sostenere l'esame