VITA LEONESSA | ANALISI FUNZIONALE

Italiano.

Lo scopo del corso è quello di fornire i concetti basilari dell'Analisi Funzionale.

Conoscenza e capacità di comprensione.  Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona padronanza sugli argomenti di analisi funzionale trattati nel corso. Dovrà essere in grado di argomentare correttamente e con proprietà di linguaggio sugli argomenti trattati nel programma. Esempi e modalità di lavoro vengono mostrati in aula durante le lezioni.

Conoscenza e capacità di comprensione applicate. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di usare i principali strumenti dell'Analisi Funzionale. Dovrà essere in grado applicare correttamente la formulazione studiata e dovrà essere capace di risolvere problemi di matematica generale simili a quelli studiati. In particolare dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite anche in contesti leggermente diversi da quelli studiati, ed avere la capacità di utilizzare le conoscenze acquisite per risolvere autonomamente problemi che possono apparire nuovi. Esempi di tali applicazioni vengono mostrati in aula durante le lezioni.

Autonomia di giudizio. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di analisi di argomenti e problemi di Analisi Funzionale, la capacità di una valutazione critica di eventuali soluzioni proposte, e di una corretta interpretazione di argomenti simili.

Abilità comunicative. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di comunicare in modo chiaro le proprie affermazioni e considerazioni inerenti problematiche di Analisi Funzionale. La modalità di lavoro viene mostrata in aula durante le lezioni.

Capacità di apprendere. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di autonomia nello studio della disciplina e dovrà essere in gradi di selezionare gli argomenti e gli esercizi pertinenti al corso per approfondire la conoscenza degli argomenti trattati.

I contenuti dei corsi di Analisi Matematica della laurea triennale, i contenuti di Istituzioni di Analisi Superiore.

Spazi normati. Spazi di Banach. Il teorema di Hahn-Banach per spazi vettoriali e per spazi normati.  Il teorema dell'applicazione aperta. L'operatore aggiunto. Il teorema della continuità dell'inversa. Il teorema del grafico chiuso. Il principio dell'uniforme limitatezza per spazi metrici e per spazi di Banach. Lo spazio quoziente e sua completezza. Il duale di un sottospazio chiuso. Spazi riflessivi. La riflessività del duale. Studio del duale degli spazi L^p. Separabilità. Riflessività.

Topologie deboli. La topologia debole di uno spazio di Banach. La topologia *-debole del duale di uno spazio di Banach. Legami tra la limitatezza e la debole compattezza. Riflessività e debole completezza. Il teorema di Banach-Alaoglu.

Operatori compatti sugli spazi normati. Operatori compatti. Il teorema di Ascoli-Arzelà e il teorema di Schauder. Spettro di un operatore compatto. Il teorema dell'alternativa di Fredholm.

Spazi di Hilbert. Spazi con prodotto scalare. Spazi di Hilbert. Disuguaglianza di Cauchy. Le identità del parallelogramma e di polarizzazione. Il teorema di rappresentazione di Riesz. Il teorema della proiezione ortogonale. La riflessività degli spazi di Hilbert. Sistemi ortonormali e sistemi completi. Esistenza di un sistema ortonormale e completo. Disuguaglianza di Bessel. Caratterizzazioni della completezza di un sistema ortonormale (identità di Bessel, uguaglianza di Parseval). Applicazioni allo studio delle serie classiche di Fourier.

Operatori limitati sugli spazi di Hilbert. Operatori limitati e aggiunti. Operatori normali, unitari ed autoaggiunti. Spettro. Operatori autoaggiunti e compatti.

Lezioni frontali.

L'esame consiste in una prova orale.

[1] B. V. Limaye, Functional Analysis, New Age International, Second Edition, 1996.

[2] H. Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editore, 1986.

[3] J. Conway, A Course in Functional Analysis, GTM 96, Springer, 1997.

All’inizio del corso vengono descritti gli obiettivi, programma e metodi di verifica del corso.

Docente: Vita Leonessa.

Orario di ricevimento: Lunedì 10:30-11:30, Mercoledì 9:30-11:30.

Oltre all’orario di ricevimento settimanale, il docente e? disponibile in ogni momento per un contatto con gli studenti, attraverso la propria e-mail.

Docente: Sandra Saliani.

Orario di ricevimento: Martedì 16:00-19:00, Mercoledì 17:00-19:00, Giovedì 10:30-11:30.

Oltre all’orario di ricevimento settimanale, il docente e? disponibile in ogni momento per un contatto con gli studenti, attraverso la propria e-mail.

14/02/2023

14/03/2023

09/05/2023

13/06/2023

11/07/2023

19/09/2023

19/12/2023

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