| MATEMATICA

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Il corso si prefigge lo scopo di fornire agli studenti le nozioni di base della geometria analitica, della trigonometria e dell’analisi matematica.

L’accento sarà posto sulla parte operazionale facendola prevalere su quella di carattere teorico.

o Conoscenza e capacità di comprensione: Conoscenza delle equazioni e disequazioni algebriche e trascendenti; conoscenza delle funzioni algebriche e trascendenti e loro proprietà; conoscenza delle definizioni di limite e di derivata di una funzione; conoscenza della procedura per disegnare il grafico di una funzione.

o Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Capacità di risolvere equazioni e disequazioni algebriche e trascendenti; capacità di saper calcolare i limiti di una funzione; capacità di saper calcolare le derivate delle funzioni; capacità di disegnare il grafico di una funzione.

o Autonomia di giudizio: Capacità di produrre gli strumenti più idonei per eseguire lo studio di una funzione algebrica o trascendente.

o Abilità comunicative: Capacità di comunicare come si esegue il calcolo dei limiti di una funzione, capacità di comunicare come si esegue la derivata di una funzione; capacità di comunicare come si esegue lo studio del grafico di una funzione.

o Capacità di apprendimento: Capacità di consultare testi e pubblicazioni di Matematica Generale allo scopo di acquisire capacità per affrontare argomenti di carattere tecnico più complessi, corsi di approfondimento e seminari specialistici.

o Concetti elementari di teoria degli insiemi

o Conoscenza del calcolo algebrico

o Conoscenza degli elementi fondamentali della geometria piana e della geometria analitica.

I numeri e le funzioni reali.

Successioni e loro limiti.
Serie numeriche.

Funzioni reali di una variabile reale. Continuità.

Calcolo differenziale.

Limiti e continuità delle funzioni di più variabili.

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili.

Integrazione semplice e multipla.

I numeri e le funzioni reali.

Gli assiomi dei numeri reali. Cenni di teoria degli insiemi. Numeri naturali, interi, razionali. Maggioranti e minoranti. Estremo superiore e inferiore. Esistenza dell'estremo superiore e dell'estremo inferiore. Massimo e minimo. Funzioni e rappresentazione cartesiana. Funzioni invertibili. Funzioni monotòne. Funzioni lineari. Funzione valore assoluto. Le funzioni potenza, esponenziale, logaritmo. Le funzioni trigonometriche.  Il principio di induzione.

Successioni e loro limiti.

Successioni di numeri reali e loro limiti. Successioni convergenti, divergenti e irregolari. Sottosuccessioni. Teorema di unicità del limite. Criterio di Cauchy. Operazioni razionali sui limiti. Teorema del confronto. Teorema detto "dei Carabinieri" Forme indeterminate. Successioni monotòne. Teorema di regolarità per le successioni monotòne. Definizione del numero e. Confronto tra infiniti. Ordine di infinitesimo.
Serie numeriche.

Definizione. Convergenza e divergenza di una serie. La serie geometrica e la serie armonica. Criterio del confronto, della radice, del rapporto e dell'ordine di infinitesimo per serie a termini non negativi. Serie a termini di segno alterno: il criterio di Leibniz. La convergenza assoluta. Criteri di convergenza assoluta.

Funzioni reali di una variabile reale. Continuità.

Limite di una funzione in un punto. Limite destro e limite sinistro. Limite all'infinito. Proprietà elementari dei limiti. Limiti notevoli. Definizione di continuità. Discontinuità eliminabili, di prima e di seconda specie. Teorema di regolarità per le funzioni monotòne. Discontinuità delle funzioni monotone. Teorema della permanenza del segno. Teorema dell’esistenza degli zeri. Teorema dell’esistenza dei valori intermedi.  Teorema di Weierstrass e corollari.

Calcolo differenziale.

La derivata di una funzione reale di variabile reale. Regole di calcolo. Derivata delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivata delle funzioni elementari. Significato geometrico della derivata. Il problema della ricerca dei massimi e dei minimi relativi e assoluti. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Crescenza e decrescenza. Concavità e convessità. Punti di flesso. Applicazioni del calcolo differenziale allo studio dei grafici di funzioni. Teorema di Cauchy. Teorema di De l'Hôpital.

Limiti e continuità delle funzioni di più variabili.

Distanza euclidea ín R^n. Intorni di un punto di R^n, insiemi aperti, chiusi, compatti, domini. Limiti di funzioni di due o più variabíli. Unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Linearità del limite ed altre proprietà. Funzioni continue. Teorema della permanenza del segno. Teorema di linearità. Funzioni continue in insiemi connessi. Teorerma di Weierstrass.

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili.

Derivate parziali prime di una funzione di due o più variabili. Gradiente di una funzione in un punto. Differenziabilità di una funzione in un punto. Differenziale. Equazione del piano tangente, approssimazione lineare. Teorema del differenziale totale. Teorema del valor medio. Derivate di ordine superiore. Teorerna di Schwarz. Derivate direzíonali, relazione col gradiente. Curve di livello. Proprietà del gradiente. Punti singolari. Massimi e minimi di funzioni di più variabilí, locali o globali. Teorema dei punti critici. Classificazione dei punti critici: test della derivata seconda per funzioni di due variabilí. Ricerca dei punti dì estremo assoluto in un dominio compatto. Punti di massimo o di minimo vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Integrazione semplice e multipla.

Integrazione di funzione di una variabile limitate in un intervallo chiuso e limitato: somme inferiori e somme superiori secondo Riemann. Funzioni integrabili secondo Ríemann. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Teorema di positività dell'integrale. Proprietà dell'integrale. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan. Integrale doppio secondo Riemann di una funzione limitata su un dominio piano limitato e misurabile. Proprietà dell'integrale doppio. Formule di riduzione per integrali doppi su domini normali.  Integrali doppi in coordinate polari, formula per il cambiamento di variabili negli integrali doppi.

I numeri e le funzioni reali.

Gli assiomi dei numeri reali. Cenni di teoria degli insiemi. Numeri naturali, interi, razionali. Maggioranti e minoranti. Estremo superiore e inferiore. Esistenza dell'estremo superiore e dell'estremo inferiore. Massimo e minimo. Funzioni e rappresentazione cartesiana. Funzioni invertibili. Funzioni monotòne. Funzioni lineari. Funzione valore assoluto. Le funzioni potenza, esponenziale, logaritmo. Le funzioni trigonometriche.  Il principio di induzione.

Successioni e loro limiti.

Successioni di numeri reali e loro limiti. Successioni convergenti, divergenti e irregolari. Sottosuccessioni. Teorema di unicità del limite. Criterio di Cauchy. Operazioni razionali sui limiti. Teorema del confronto. Teorema detto "dei Carabinieri" Forme indeterminate. Successioni monotòne. Teorema di regolarità per le successioni monotòne. Definizione del numero e. Confronto tra infiniti. Ordine di infinitesimo.
Serie numeriche.

Definizione. Convergenza e divergenza di una serie. La serie geometrica e la serie armonica. Criterio del confronto, della radice, del rapporto e dell'ordine di infinitesimo per serie a termini non negativi. Serie a termini di segno alterno: il criterio di Leibniz. La convergenza assoluta. Criteri di convergenza assoluta.

Funzioni reali di una variabile reale. Continuità.

Limite di una funzione in un punto. Limite destro e limite sinistro. Limite all'infinito. Proprietà elementari dei limiti. Limiti notevoli. Definizione di continuità. Discontinuità eliminabili, di prima e di seconda specie. Teorema di regolarità per le funzioni monotòne. Discontinuità delle funzioni monotone. Teorema della permanenza del segno. Teorema dell’esistenza degli zeri. Teorema dell’esistenza dei valori intermedi.  Teorema di Weierstrass e corollari.

Calcolo differenziale.

La derivata di una funzione reale di variabile reale. Regole di calcolo. Derivata delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivata delle funzioni elementari. Significato geometrico della derivata. Il problema della ricerca dei massimi e dei minimi relativi e assoluti. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Crescenza e decrescenza. Concavità e convessità. Punti di flesso. Applicazioni del calcolo differenziale allo studio dei grafici di funzioni. Teorema di Cauchy. Teorema di De l'Hôpital.

Limiti e continuità delle funzioni di più variabili.

Distanza euclidea ín R^n. Intorni di un punto di R^n, insiemi aperti, chiusi, compatti, domini. Limiti di funzioni di due o più variabíli. Unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Linearità del limite ed altre proprietà. Funzioni continue. Teorema della permanenza del segno. Teorema di linearità. Funzioni continue in insiemi connessi. Teorerma di Weierstrass.

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili.

Derivate parziali prime di una funzione di due o più variabili. Gradiente di una funzione in un punto. Differenziabilità di una funzione in un punto. Differenziale. Equazione del piano tangente, approssimazione lineare. Teorema del differenziale totale. Teorema del valor medio. Derivate di ordine superiore. Teorerna di Schwarz. Derivate direzíonali, relazione col gradiente. Curve di livello. Proprietà del gradiente. Punti singolari. Massimi e minimi di funzioni di più variabilí, locali o globali. Teorema dei punti critici. Classificazione dei punti critici: test della derivata seconda per funzioni di due variabilí. Ricerca dei punti dì estremo assoluto in un dominio compatto. Punti di massimo o di minimo vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Integrazione semplice e multipla.

Integrazione di funzione di una variabile limitate in un intervallo chiuso e limitato: somme inferiori e somme superiori secondo Riemann. Funzioni integrabili secondo Ríemann. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Teorema di positività dell'integrale. Proprietà dell'integrale. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan. Integrale doppio secondo Riemann di una funzione limitata su un dominio piano limitato e misurabile. Proprietà dell'integrale doppio. Formule di riduzione per integrali doppi su domini normali.  Integrali doppi in coordinate polari, formula per il cambiamento di variabili negli integrali doppi.

1.  Didattica frontale: lezioni magistrali.

2.  Didattica interattiva: dimostrazioni tecniche senza esecuzione diretta da parte dei partecipanti (identificazione del          

     problema - definizione del problema e delle domande rilevanti - selezione delle ipotesi -  raccolta di informazioni -        

     verifica delle ipotesi e prova della tesi). ???????

L’obiettivo della prova d’esame consiste nella verifica del raggiungimento degli obiettivi formativi precedentemente indicati.

L’esame consiste in una prova scritta della durata di 2 ore e in colloquio orale.

Durante la prova scritta non è consentito consultare libri di testo e appunti; è consentito l’uso della calcolatrice (purchè non programmabile). E’ tassativamente proibito l’uso di dispositivi wireless (smartphone, tablet, ecc.).

L’esame si ritiene superato con il punteggio maggiore o uguale a 18.

P.Marcellini - C.Sbordone, Analisi Matematica, Liguori

Orario di ricevimento: A cusa dell'emergenza epidemiologica e alle disposizioni dell'attuale DPCM si riceve su appuntamento.

Il docente è disponibile per contatti con gli studenti attraverso la propria email: vita.triani@unibas.it

Secondo le indicazioni del Manifesto degli Studi

Non previsti