Angelica MALASPINA | ANALISI FUNZIONALE

OBIETTIVI FORMATIVI E RISULTATI DI APPRENDIMENTO
Obiettivo del corso è l'acquisizione delle proprietà basilari dell'analisi funzionale e degli spazi di Banach. Al termine
del corso gli studenti dovrebbero essere in grado di:
- conoscere gli elementi base di analisi funzionale, i teoremi e le tecniche principali della teoria degli operatori lineari
e continui, degli spazi di Banach e degli spazi di Hilbert,
- possedere competenze per la risoluzione di esercizi vari,
- leggere e comprendere testi di Analisi Funzionale,
- fornire autonomamente una dimostrazione di enunciati semplici, con spiccata capacità di ragionamento,
- comunicare in lingua italiana le conoscenze matematiche acquisite nel corso e le problematiche connesse

I prerequisiti richiesti sono: le nozioni di base di teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue. E'
utile una buona conoscenza della topologia negli spazi reali. Propedeuticità richiesta: Istituzioni di Analisi Superiore.

Spazi metrici:
Disuguaglianza di Hölder e disuguaglianza di Minkowski per somme finite. Gli spazi l^p e l^?. Metrica lagrangiana.
Metriche equivalenti. Separabilità, completezza. Insiemi di prima e di seconda categoria ed il lemma di Baire.
Principio di uniforme limitatezza per gli spazi metrici.

Spazi di Banach:
Spazi normati e spazi di Banach. Spazi quoziente di uno spazio normato. Il Teorema di Hahn-Banach per gli spazi
vettoriali reali e complessi. Formulazioni geometriche del Teorema di Hahn-Banach: separazione di insiemi convessi.
Operatori lineari tra spazi normati: legame tra limitatezza e continuità. La norma di un operatore lineare; lo spazio
B(X,Y). Il Teorema di Hahn-Banach per gli spazi normati e sue conseguenze. L'operatore aggiunto. Teorema relativo
allo studio dell'equazione funzionale Tx = b. Operatori a codominio chiuso. Teorema di Banach-Steinhaus. Il teorema
dell'applicazione aperta e sue conseguenze. Operatori lineari chiusi. Il teorema del grafico chiuso. Spazi L^p(X,? ).
Spazio L^?(X,?). Lo spazio duale di uno spazio normato. Il teorema di rappresentazione di Riesz in L^p. Spazi
riflessivi. Operatori invertibili in B(X). Spettro di un operatore in B(X). Condizione sufficiente per l'invertibilità di un
operatore in B(X). Serie di Neumann. Compattezza dello spettro. Convoluzioni. Nuclei di sommabilità.

Spazi di Hilbert:
Spazi con prodotto scalare. Identità di polarizzazione. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Norma indotta dal
prodotto scalare. Identità del parallelogrammo. Teorema di Jordan e Neumann. Spazi di Hilbert: definizione ed
esempi. Insiemi ortogonali. Insiemi ortonormali. Generalizzazione del Teorema di Pitagora. Il Teorema di
ortonormalizzazione di Gram-Schimdt. Disuguaglianza di Bessel. Il teorema di Riesz-Fisher. Basi ortonormali. Serie di
Fourier negli spazi di Hilbert. Identità di Parseval. Teorema di caratterizzazione degli spazi di Hilbert. Proiezioni.
Funzionali lineari e continui su uno spazio con prodotto scalare. Il Teorema di rappresentazione di Riesz-Frechet e
sue conseguenze. Il teorema di Hahn-Banach per gli spazi di Hilbert. Convergenza debole.

Spazi metrici:
Disuguaglianza di Hölder e disuguaglianza di Minkowski per somme finite. Gli spazi l^p e l^?. Metrica lagrangiana.
Metriche equivalenti. Separabilità, completezza. Insiemi di prima e di seconda categoria ed il lemma di Baire.
Principio di uniforme limitatezza per gli spazi metrici.

Spazi di Banach:
Spazi normati e spazi di Banach. Spazi quoziente di uno spazio normato. Il Teorema di Hahn-Banach per gli spazi
vettoriali reali e complessi. Formulazioni geometriche del Teorema di Hahn-Banach: separazione di insiemi convessi.
Operatori lineari tra spazi normati: legame tra limitatezza e continuità. La norma di un operatore lineare; lo spazio
B(X,Y). Il Teorema di Hahn-Banach per gli spazi normati e sue conseguenze. L'operatore aggiunto. Teorema relativo
allo studio dell'equazione funzionale Tx = b. Operatori a codominio chiuso. Teorema di Banach-Steinhaus. Il teorema
dell'applicazione aperta e sue conseguenze. Operatori lineari chiusi. Il teorema del grafico chiuso. Spazi L^p(X,? ).
Spazio L^?(X,?). Lo spazio duale di uno spazio normato. Il teorema di rappresentazione di Riesz in L^p. Spazi
riflessivi. Operatori invertibili in B(X). Spettro di un operatore in B(X). Condizione sufficiente per l'invertibilità di un
operatore in B(X). Serie di Neumann. Compattezza dello spettro. Convoluzioni. Nuclei di sommabilità.

Spazi di Hilbert:
Spazi con prodotto scalare. Identità di polarizzazione. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Norma indotta dal
prodotto scalare. Identità del parallelogrammo. Teorema di Jordan e Neumann. Spazi di Hilbert: definizione ed
esempi. Insiemi ortogonali. Insiemi ortonormali. Generalizzazione del Teorema di Pitagora. Il Teorema di
ortonormalizzazione di Gram-Schimdt. Disuguaglianza di Bessel. Il teorema di Riesz-Fisher. Basi ortonormali. Serie di
Fourier negli spazi di Hilbert. Identità di Parseval. Teorema di caratterizzazione degli spazi di Hilbert. Proiezioni.
Funzionali lineari e continui su uno spazio con prodotto scalare. Il Teorema di rappresentazione di Riesz-Frechet e
sue conseguenze. Il teorema di Hahn-Banach per gli spazi di Hilbert. Convergenza debole.

Il corso prevede 48 ore di lezioni frontali svolte in aula. La presentazione dei teoremi principali è accompagnata
dalla loro dimostrazione, dalla discussione di esempi, applicazioni e dallo svolgimento di esercizi che ne
richiedono l'utilizzo.

La verifica delle competenze acquisite consiste in una prova orale nella quale verrà valutata la capacità di collegare e
confrontare aspetti diversi trattati durante il corso.

- E. Giusti: Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 1983.
- R. E. Megginson: An introduction to Banach space theory, Springer, 1998.
- H. L. Royden: Real Analysis, Collier Macmillan,1988.
- B.V. Limaye: Functional analysis. New Age international, 1996.
- Appunti del corso forniti agli studenti dal docente.

Il ricevimento studenti si terrà presso lo studio del docente (studio n. 11, II piano, Edificio 3D, Campus di Macchia
Romana) nei giorni: martedì e mercoledì dalle ore 11:30 alle ore 13:30 .
Gli studenti possono altresì contattare il docente inviando un messaggio di posta elettronica al seguente indirizzo:
angelica.malaspina@unibas.it

06/02/2020, 05/03/2020, 09/06/2020, 07/07/2020, 17/09/2020, 15/12/2020.

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