| | Obiettivi formativi e risultati di apprendimento |
|---|
| Obiettivo del corso è l'acquisizione delle proprietà basilari dell'analisi funzionale e degli spazi di Banach. Al termine
del corso gli studenti dovrebbero essere in grado di:
- conoscere gli elementi base di analisi funzionale, i teoremi e le tecniche principali della teoria degli operatori lineari
e continui, degli spazi di Banach e degli spazi di Hilbert,
- possedere competenze per la risoluzione di esercizi vari,
- leggere e comprendere testi di Analisi Funzionale,
- fornire autonomamente una dimostrazione di enunciati semplici, con spiccata capacità di ragionamento,
- comunicare in lingua italiana le conoscenze matematiche acquisite nel corso e le problematiche connesse
|
| | Prerequisiti |
|---|
| I prerequisiti richiesti sono: le nozioni di base di teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue. E'
utile una buona conoscenza della topologia negli spazi reali. Propedeuticità richiesta: Istituzioni di Analisi Superiore.
|
| | Contenuti del corso |
|---|
| Spazi metrici:
Disuguaglianza di Hölder e disuguaglianza di Minkowski per somme finite. Gli spazi l^p e l^?. Metrica lagrangiana.
Metriche equivalenti. Separabilità, completezza. Insiemi di prima e di seconda categoria ed il lemma di Baire.
Principio di uniforme limitatezza per gli spazi metrici. Spazi di Banach:
Spazi normati e spazi di Banach. Spazi quoziente di uno spazio normato. Il Teorema di Hahn-Banach per gli spazi
vettoriali reali e complessi. Formulazioni geometriche del Teorema di Hahn-Banach: separazione di insiemi convessi.
Operatori lineari tra spazi normati: legame tra limitatezza e continuità. La norma di un operatore lineare; lo spazio
B(X,Y). Il Teorema di Hahn-Banach per gli spazi normati e sue conseguenze. L'operatore aggiunto. Teorema relativo
allo studio dell'equazione funzionale Tx = b. Operatori a codominio chiuso. Teorema di Banach-Steinhaus. Il teorema
dell'applicazione aperta e sue conseguenze. Operatori lineari chiusi. Il teorema del grafico chiuso. Spazi L^p(X,? ).
Spazio L^?(X,?). Lo spazio duale di uno spazio normato. Il teorema di rappresentazione di Riesz in L^p. Spazi
riflessivi. Operatori invertibili in B(X). Spettro di un operatore in B(X). Condizione sufficiente per l'invertibilità di un
operatore in B(X). Serie di Neumann. Compattezza dello spettro. Convoluzioni. Nuclei di sommabilità. Spazi di Hilbert:
Spazi con prodotto scalare. Identità di polarizzazione. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Norma indotta dal
prodotto scalare. Identità del parallelogrammo. Teorema di Jordan e Neumann. Spazi di Hilbert: definizione ed
esempi. Insiemi ortogonali. Insiemi ortonormali. Generalizzazione del Teorema di Pitagora. Il Teorema di
ortonormalizzazione di Gram-Schimdt. Disuguaglianza di Bessel. Il teorema di Riesz-Fisher. Basi ortonormali. Serie di
Fourier negli spazi di Hilbert. Identità di Parseval. Teorema di caratterizzazione degli spazi di Hilbert. Proiezioni.
Funzionali lineari e continui su uno spazio con prodotto scalare. Il Teorema di rappresentazione di Riesz-Frechet e
sue conseguenze. Il teorema di Hahn-Banach per gli spazi di Hilbert. Convergenza debole. |
| | Programma esteso |
|---|
| Spazi metrici:
Disuguaglianza di Hölder e disuguaglianza di Minkowski per somme finite. Gli spazi l^p e l^?. Metrica lagrangiana.
Metriche equivalenti. Separabilità, completezza. Insiemi di prima e di seconda categoria ed il lemma di Baire.
Principio di uniforme limitatezza per gli spazi metrici. Spazi di Banach:
Spazi normati e spazi di Banach. Spazi quoziente di uno spazio normato. Il Teorema di Hahn-Banach per gli spazi
vettoriali reali e complessi. Formulazioni geometriche del Teorema di Hahn-Banach: separazione di insiemi convessi.
Operatori lineari tra spazi normati: legame tra limitatezza e continuità. La norma di un operatore lineare; lo spazio
B(X,Y). Il Teorema di Hahn-Banach per gli spazi normati e sue conseguenze. L'operatore aggiunto. Teorema relativo
allo studio dell'equazione funzionale Tx = b. Operatori a codominio chiuso. Teorema di Banach-Steinhaus. Il teorema
dell'applicazione aperta e sue conseguenze. Operatori lineari chiusi. Il teorema del grafico chiuso. Spazi L^p(X,? ).
Spazio L^?(X,?). Lo spazio duale di uno spazio normato. Il teorema di rappresentazione di Riesz in L^p. Spazi
riflessivi. Operatori invertibili in B(X). Spettro di un operatore in B(X). Condizione sufficiente per l'invertibilità di un
operatore in B(X). Serie di Neumann. Compattezza dello spettro. Convoluzioni. Nuclei di sommabilità. Spazi di Hilbert:
Spazi con prodotto scalare. Identità di polarizzazione. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Norma indotta dal
prodotto scalare. Identità del parallelogrammo. Teorema di Jordan e Neumann. Spazi di Hilbert: definizione ed
esempi. Insiemi ortogonali. Insiemi ortonormali. Generalizzazione del Teorema di Pitagora. Il Teorema di
ortonormalizzazione di Gram-Schimdt. Disuguaglianza di Bessel. Il teorema di Riesz-Fisher. Basi ortonormali. Serie di
Fourier negli spazi di Hilbert. Identità di Parseval. Teorema di caratterizzazione degli spazi di Hilbert. Proiezioni.
Funzionali lineari e continui su uno spazio con prodotto scalare. Il Teorema di rappresentazione di Riesz-Frechet e
sue conseguenze. Il teorema di Hahn-Banach per gli spazi di Hilbert. Convergenza debole
|
| | Metodi didattici |
|---|
| Il corso prevede 48 ore di lezioni frontali svolte in aula. La presentazione dei teoremi principali è accompagnata
dalla loro dimostrazione, dalla discussione di esempi, applicazioni e dallo svolgimento di esercizi che ne
richiedono l'utilizzo.
|
| | Modalità di verifica dell'apprendimento |
|---|
| La verifica delle competenze acquisite consite in una prova orale nella quale verrà valutata la capicità di collegare e confrontare aspetti diversi trattati durante il corso.
Il voto sara' espresso in trentesimi, secondo il seguente schema di valutazione.
Ottimo (30- 30 e lode) :Ottima conoscenza e comprensione degli argomenti trattati. Ottima capacita' di applicare le conoscenze acquisite per risolvere gli esercizi proposti e per affrontare nuove problematiche. Eccellenti capacita'
espositive.
Molto buono (26-29): Buona conoscenza e comprensione degli argomenti trattati. Buona capacita' di applicare le
conoscenze acquisite per risolvere gli esercizi proposti e per affrontare nuove problematiche. Ottime capacita'
espositive.
Buono - (24-25): Buona conoscenza e comprensione degli argomenti trattati. Discreta capacita' di applicare le
conoscenze acquisite per risolvere gli esercizi proposti e per affrontare nuove problematiche. Buone capacita'
espositive.
Discreto ( 21-23): Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti trattati. Sufficiente capacita' di applicare le
conoscenze acquisite per risolvere gli esercizi proposti e per affrontare nuove problematiche.
Sufficiente (18-20) : Sufficiente Conoscenza degli argomenti trattati e limitata capacita' di applicare le conoscenze
acquisite per risolvere gli esercizi proposti .
|
| | Testi di riferimento e di approfondimento, materiale didattico Online |
|---|
| - E. Giusti: Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 1983.
- R. E. Megginson: An introduction to Banach space theory, Springer, 1998.
- H. L. Royden: Real Analysis, Collier Macmillan,1988.
- B.V. Limaye: Functional analysis. New Age international, 1996.
- S. Salsa: Equazioni alle derivate parziali, Springer, 2007
- appunti del docente.
|
| | Metodi e modalità di gestione dei rapporti con gli studenti |
|---|
| Il ricevimento studenti si terrà presso lo studio del docente (studio n.11, II piano, Edificio 3D, Campus di Macchia
Romana) nei giorni: Lunedì dalle ore 11:30 alle ore 12:30 e sulla piattaforma Meet in maniera telematica il giovedì dalle 16:30 alle 17:30 (chiave d'accesso RicevimentoMalaspina).
Gli studenti possono altresì contattare il docente per un appuntamento inviando un messaggio di posta elettronica al seguente indirizzo:
angelica.malaspina@unibas.it
Inoltre su https://elearning.unibas.it/ è possibile visitare la pagina web del corso.
|
| | Date di esame previste |
|---|
| 08/02/2021
25/03/2021
24/05/2021
16/06/2021
13/07/2021
20/09/2021
16/12/2021
|
| | Seminari di esperti esterni |
|---|
| no
|
