Angelica MALASPINA | MATEMATICA II

Italiano

Il corso rappresenta il proseguimento dell’insegnamento di Matematica I ed esamina gli elementi di base del

calcolo differenziale in più variabili, del calcolo integrale, della teoria delle equazioni differenziali ordinarie,

delle serie numeriche e di potenze.

L'obiettivo principale del corso consiste nel fornire agli studenti le basi per affrontare lo studio del carattere di una

serie numerica, il calcolo di integrali di funzioni reali di una variabile, la ricerca di massimi e minimi per funzioni reali

di due variabili reali e la risoluzione di equazioni differenziali ordinarie di primo e secondo ordine.

Le principali conoscenze fornite saranno:

elementi di base di calcolo differenziale in più variabili, del calcolo integrale, della teoria delle equazioni

differenziali ordinarie, delle serie numeriche e di potenze.

Le principali abilità (ossia la capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno:

1. analizzare le definizioni e gli enunciati dei teoremi;

2. identificare le ipotesi necessarie nell'enunciato di un teorema;

3. valutare la procedura corretta nella risoluzione di un esercizio;

4. utilizzare i teoremi acquisiti nella dimostrazione di altri teoremi;

5. utilizzare i teoremi acquisiti nella risoluzione degli esercizi.

I contenuti del corso di Matematica I

Funzioni di due variabili (26 ore).

Struttura dello spazio R2 come spazio di vettori. Elementi di base di topologia in R2. Funzioni reali di due variabili reali. Limite di una funzione reale di due variabili reali. Continuità. Calcolo differenziale per funzioni reali di due variabili reali. Derivate parziali e direzionali. Differenziabilità, significato geometrico del differenziale. Relazioni tra differenziabilità, derivabilità, derivate direzionali, continuità. Estremi relativi per una funzione reale a due variabili reali.

Equazioni differenziali ordinarie (6 ore). Problema di Cauchy.

(12 ore). Calcolo integrale Integrale di Riemann. L'integrale indefinito e sue proprietà. Metodi di integrazione. Integrazione di funzioni razionali, irrazionali, trigonometriche e trascendenti. Integrabilità in senso improprio.

(8 ore) Serie numeriche e serie di potenze.

FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI

Struttura dello spazio R^2 come spazio di vettori. Prodotto scalare, norma, teorema di rappresentazione del prodotto scalare in R^2, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, disuguaglianza triangolare, versori. Elementi di base di topologia in R^2: definizione di intorno sferico; punti interni, esterni, di frontiera per un insieme; punti di accumulazione per un insieme; insiemi aperti,chiusi e limitati. Interpretazione geometrica di R^3. Funzioni reali di due variabili reali: definizione, insieme di definizione, curve di livello, grafici.

Definizione di limite (finito ed infinito) di una funzione reale di due variabili reali e sue proprietà. Continuità. Tecnica per dimostrare la non esistenza di un limite (metodo delle traiettorie). Coordinate polari nel piano. Condizioni sufficienti per l'esistenza del limite calcolato con le coordinate polari.

CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI

Derivate direzionali di una funzione di due variabili. Derivate parziali: significato geometrico e regole di calcolo. Gradiente. Piano tangente. Differenziabilità, significato geometrico del differenziale. Teorema del differenziale totale. Formula del gradiente. Relazioni tra differenziabilità, derivabilità, derivate direzionali, continuità. Derivate di ordine successivo, teorema di Schwarz. Estremi relativi per una funzione f(x, y). Punti critici. Condizione necessaria per l'esistenza degli estremi relativi di f(x, y). Determinante hessiano. Condizioni sufficienti per la ricerca di estremi relativi di f(x,y).

SERIE

Serie convergenti, divergenti e indeterminate. Criterio di non convergenza. Serie armonica, serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie di Mengoli. Linearità delle serie. Serie a termini di segno costante. Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico. Criterio del rapporto. Criterio della radice. Serie geometrica e sue applicazioni. Serie armonica e serie armonica generalizzata. Serie assolutamente convergenti. Criterio di assoluta convergenza. Serie a termini di segno alterno, criterio di Leibniz. Serie armonica alternata. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Dominio di convergenza. 

INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN

Problema del calcolo dell'area delimitata dal grafico di una funzione, l'asse delle ascisse e due rette verticali. Definizione di integrale definito di Riemann, funzioni integrabili e criteri di integrabilità. Proprietà degli integrali: linearità, additività, monotonia, valore assoluto. Teorema della media. Primitiva di una funzione e sue proprietà. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale.

L'integrale indefinito e sue proprietà. Metodo di integrazione per sostituzione, metodo di integrazione per parti. Integrazione di funzioni razionali, decomposizione in fratti semplici. Integrazione di funzioni irrazionali, trigonometriche e trascendenti.

Integrabilità in senso improprio: integrali impropri su intervalli non limitati; integrali impropri di funzioni non limitate su intervalli limitati. Criteri di convergenza per gli integrali impropri per funzioni positive: criterio del confronto. Criterio di assoluta integrabilità.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

Equazioni differenziali ordinarie: generalità e definizioni. Equazioni differenziali del primo ordine lineari a coefficienti continui omogenee e non omogenee, metodo del fattore integrante. Equazioni differenziali a variabili separabili. Problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: polinomio caratteristico, soluzione generale dell'equazione omogenea.

Lezioni teoriche frontali ed esercitazioni

L'obiettivo della prova d'esame consiste nel verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi precedentemente indicati.

L'esame consiste in una prova scritta divisa in due parti:

• una prova a quiz (n. 3 quesiti di tipo teorico) in cui vengono richieste definizioni o enunciati di teoremi, vengono posti quesiti precisi e viene richiesto di stabilire se certe affermazioni sono vere o false motivando le risposte;

la prova ha lo scopo di valutare lo studio della materia e la comprensione degli argomenti di base;

• risoluzione di n. 3 esercizi numerici su tutti gli argomenti trattati nel corso; la prova ha lo scopo di valutare la capacità di applicare le conoscenze acquisite durante il corso.

Il tempo previsto per la prova è di 3 ore. Non è consentito consultare libri e/o quaderni, utilizzare PC, smartphone e/o calcolatrici e/o dispositivi informatici di ogni genere.

Per superare tale prova è necessario acquisire almeno 18 punti su 30. Coloro che volessero migliorare il voto della prova scritta potranno far richiesta di sostenere anche una prova orale che andrà espletata entro un mese dalla data della prova scritta.

La prova scritta si riterrà superata con riserva se si ottiene un punteggio pari a 16/30 o 17/30. In tal caso per il superamento dell'esame è obbligatoria la prova orale entro un mese dalla data dello scritto.

[1] P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica I,

Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea

Liguori Editore.

[2] N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone

Elementi di analisi matematica 2. Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea

Liguori Editore.

[3] M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica,

McGraw-Hill.

[4] P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, primo e secondo volume,

Liguori Editore.

[5] Appunti forniti dal docente, disponibili on-line sul sito del corso sulla piattaforma Classroom.

All’inizio del corso vengono descritti gli obiettivi, programma e metodi di verifica del corso.

Orario di ricevimento: mercoledì 15:30-17:00 

Oltre all’orario di ricevimento settimanale, il docente e? disponibile in ogni momento per un contatto con gli studenti, attraverso la propria e-mail.

07/02/2024

23/04/2024

18/06/2024

04/07/2024

10/09/2024

17/12/2024

No

Codice corso su Classroom: ihcsaim