Antonella Iuliano | PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA

Il corso si propone di fornire agli studenti una buona comprensione degli elementi di base e caratteristiche fondamentali della Teoria della Probabilità e della Statistica Matematica attraverso una rigorosa discussione di definizioni, teoremi, dimostrazioni e applicazioni.

• Conoscenza e capacità di comprensione: lo studente deve essere in grado di conoscere ed esporre i principali concetti e risultati presentati nel corso e di dimostrare i teoremi fondamentali del programma.
• Capacità di applicare conoscenza e comprensione: lo studente deve essere in grado di elaborare e risolvere i vari problemi del Calcolo della Probabilità e della Statistica Matematica e di saper estendere le metodologie acquisite ad ambiti diversi da quelli nei quali le conoscenze apprese vengono tradizionalmente utilizzate.
• Autonomia di giudizio: lo studente deve essere in grado di approfondire autonomamente quanto imparato, al fine di utilizzare le conoscenze acquisite come base di partenza che gli consenta di pervenire a risultati ulteriori, contraddistinti da una maturità sempre maggiore e da una autonomia di giudizio sempre più ampia.
• Abilità comunicative: lo studente deve avere la capacità di spiegare, in maniera semplice, a persone non esperte i concetti base del Calcolo della Probabilità e della Statistica Matematica. Deve saper presentare un elaborato (ad esempio in sede di esame, durante il corso o durante la tesi di laurea) e riassumere in maniera completa e precisa i risultati raggiunti utilizzando correttamente il linguaggio matematico-statistico.
• Capacità di apprendimento: Lo studente deve essere in grado di aggiornarsi o ampliare le proprie conoscenze continuamente e autonomamente, tramite la consultazione di testi, e articoli scientifici relativi al proprio settore disciplinare. Inoltre, la frequenza delle lezioni costituisce un sussidio didattico di fondamentale importanza, oltre che un preciso dovere.

Lo studente deve aver acquisito conoscenze di logica matematica e di analisi matematica (calcolo combinatorio, studio di funzioni, derivate, integrali, convergenza e serie di funzioni).

Modulo 1: Calcolo delle probabilità

• Costruzione assiomatica dello spazio di probabilità: spazio campionario, eventi, sigma-algebre, assiomi della probabilità, definizione di probabilità (come funzione di insieme continua e come misura della fiducia).
• Probabilità condizionata e Indipendenza: probabilità condizionata, formula delle probabilità totali, Teorema di Bayes, eventi indipendenti, Lemma di Borel-Cantelli.
• Variabili aleatorie: funzione di distribuzione e sue proprietà, variabili discrete (Bernoulli, Binomiale, Geometrica, Binomiale Negativa, Ipergeometrica) e variabili continue (Normale, Uniforme, Cauchy, Esponenziale, Gamma, Chi-Quadro, t di Student, Fisher), variabili aleatorie multidimensionali, indipendenza tra variabili aleatorie, definizione di valore atteso e varianza di una variabile aleatoria (discreta e continua).
• Momenti: funzione generatrice dei momenti e funzione caratteristica.
• Teoremi limite: convergenza in legge, convergenza in probabilità, convergenza quasi certa, disuguaglianza di Chebyshev e legge debole dei grandi numeri, teorema del limite centrale, legge forte dei grandi numeri, approssimazione di variabili aleatorie discrete.

Modulo 2: Introduzione alla Statistica

• Generalità sul campionamento: costruzione dello spazio campionario e definizione di campione casuale estratto da una popolazione, statistiche e momenti campionari, media e varianza campionaria.
• Stima puntuale: definizione di stimatore, stimatori corretti, stimatori a varianza minima, Teorema di Cramér-Rao, proprietà asintotiche degli stimatori, statistiche sufficienti, teorema di fattorizzazione e teorema di Blackwell-Rao, metodi per la ricerca degli stimatori (metodo della massima verosimiglianza e metodo dei momenti), stimatori di Bayes.
• Stima intervallare: definizione di intervallo di confidenza, metodo del cardine, intervalli fiduciari per medie (varianza nota e incognita), differenze tra medie (varianze note e incognite), intervalli fiduciari per variante (media nota e incognita), rapporti di varianze, popolazioni di Bernoulli,  popolazioni esponenziali.
• Ipotesi statistiche: definizione di ipotesi statistica, regione critica, errore di prima e seconda specie, potenza del test e ampiezza del test, verifica delle ipotesi, Lemma di Neyman-Pearson, rapporto di verosimiglianze, differenze tra proporzioni, tabelle di contingenza.
• Modelli lineari generali: analisi della varianza (ANOVA), regressione lineare semplice e multivariata. Stima nei modelli lineari generali, teorema di Gauss-Markov.

Modulo 3: Introduzione a R

• Conoscere R
• Il mondo aleatorio: Calcolo delle Probabilità e variabili aleatorie
• Dal Campione alla popolazione: Media e varianza campionaria, intervalli fiduciari, verifica delle ipotesi,  ANOVA e Analisi di regressione (semplice e multivariata).

Il corso prevede 48 ore di didattica tra lezioni ed esercitazioni in aula. In particolare sono previste alcune ore di esercitazioni guidate in laboratorio.

L’obiettivo della prova d’esame consiste nel verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi precedentemente indicati. L’esame è diviso in 2 parti che hanno luogo nello stesso giorno:

1. Discussione di un elaborato progettuale.
   
2. Prova orale nella quale sarà valutata la capacità di esporre, collegare e confrontare i diversi argomenti trattati durante il corso; per superare la prova è necessario acquisire almeno 18 punti su 30.

Il voto finale è dato dalla somma dei 2 punteggi. Qualora una delle 2 prove risulti insufficiente o qualora il punteggio totale sia inferiore a 18 è necessario ripetere tutte e 2 le prove.

• Appunti forniti dal docente disponibili su richiesta

Testi di riferimento

• Ross S.M. (2007). Calcolo delle probabilità. II Edizione. Apogeo.
• Crescenzo, A., Luigi M. Ricciardi (2000). Elementi di statistica. Liguori.
• Iacus S.M., e Masarotto G., Laboratorio di Statistica con R. McGraw-Hill.

Argomenti specifici possono essere approfonditi sui seguenti testi:

• Buonocore A., Di Crescenzo A., Ricciardi L.M. (2011). Appunti di Probabilità, Liguori.
• Baldi P. (2011). Calcolo delle Probabilità, McGraw-Hill.
• Ricciardi L.M., Rinaldi S. (1994). Esercizi del calcolo delle probabilità. Liguori.
• Casella G., Berger R.L. (2001). Statistical Inference, Duxbury Press.
• Piccolo D. (2010). Statistica, Il Mulino.

• All’inizio del corso, dopo aver descritto obiettivi, programma e metodi di verifica, il docente mette a disposizione degli studenti il materiale didattico (cartelle condivise, sito web, etc).
• Orario di ricevimento: il giorno merccoledì dalle 14:00 alle 16:00 presso il proprio studio.
• Oltre all’orario di ricevimento settimanale, il docente è disponibile in ogni momento per un contatto con gli studenti, attraverso il proprio indirizzo e-mail.

20/07/2022, 21/09/2022, 26/10/2022, 23/11/2022, 15/12/2022, 26/01/2023, 23/02/2023, 23/03/2023, 23/04/2023

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